Quiz suites numériques Quiz suites numériques 1. Si les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) ont même limite, alors \(u_n\sim v_n\). Vrai Faux Ceci n’est vrai que si la limite est différente de \(0\) et de \(+\infty\). 2. Si \(u_n\) converge vers 1, il en est de même de la suite \((u_n^n)\). Vrai Faux Si \(u_n=1+\frac1n\), la suite \((u_n^n)\) converge vers \(\text{e}\) (prendre la forme exponentielle pour s’en convaincre). 3. Si \((u_n)\) est strictement positive et \(\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1\) alors \(\lim u_n=0\). Vrai Faux Ce n’est pas vrai lorsque \(\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}= 1\) (considérer par exemple une suite constante). 4. Si \(u_n\sim v_n\) alors \(u_n\) et \(v_n\) ont même signe à partir d’un certain rang. Vrai Faux \(\lim\dfrac{u_n}{v_n}=1\) donc à partir d’un certain rang \(\dfrac{u_n}{v_n}>0\). 5. Si \((u_n)\) est strictement positive et si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1\) alors \((u_n)\) converge vers \(0\). Vrai Faux On peut juste affirmer que \((u_n)\) est strictement décroissante et minorée par \(0\) donc elle converge (mais pas nécessairement vers \(0\)). 6. Si \(u_n=v_n+o(v_n)\) alors \(v_n=u_n+o(u_n)\). Vrai Faux Ces égalités traduisent le fait que \(u_n\sim v_n\). 7. Une suite réelle dont la limite est positive est elle-même positive à partir d’un certain rang. Vrai Faux Ce n’est vrai que si la limite \(\ell\) est strictement positive. Dans ce cas, en choisissant \(\epsilon\in\left]0,\ell\right[\) on obtient l’existence d’un rang à partir duquel \(|u_n-\ell|≤\epsilon\), ce qui implique \(u_n≥\ell-\epsilon>0\). 8. Une suite croissante \((u_n)\) converge si et seulement si la suite \((u_{2n})\) converge. Vrai Faux Pour tout \(n\in\Bbb N\), \(u_{2n}\leq u_{2n+1}\leq u_{2n+2}\) donc si la suite \((u_{2n})\) converge vers \(\ell\), il en est de même de la suite \((u_{2n+1})\). 9. La suite \((u_n)\) converge si et seulement si les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent vers la même limite. Vrai Faux 10. Si \(u_n\sim v_n\) alors \(u_n^n\sim v_n^n\). Vrai Faux Considérer par exemple \(u_n=1+\dfrac1n\) et \(v_n=1\). 11. Une suite positive de limite nulle est décroissante à partir d’un certain rang. Vrai Faux La suite \(u_n=\frac1n+\frac{(-1)^n}{n^2}\) est positive et tend vers 0 sans être jamais décroissante à partir d’un certain rang. 12. Si \(u_n\sim v_n\) et \(u’_n\sim v’_n\) alors \(u_nu’_n\sim v_nv’_n\). Vrai Faux Si \(\lim\dfrac{u_n}{v_n}=1\) et \(\lim\dfrac{u’_n}{v’_n}=1\) alors \(\lim\dfrac{u_nu’_n}{v_nv’_n}=1\). 13. Si une suite diverge vers \(+\infty\), il existe un rang à partir duquel elle est croissante. Vrai Faux La suite \(u_n=n+(-1)^n\) diverge vers \(+∞\) sans être jamais croissante à partir d’un certain rang. 14. Si \((u_n)\) est une suite à valeurs strictement positives vérifiant \(\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=a\in\Bbb R_+\) alors pour tout \(\epsilon>0\), \(u_n=O((a+\epsilon)^n)\). Vrai Faux À partir d’un certain rang \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leq a+\epsilon\) donc par comparaison logarithmique, \(u_n=O((a+\epsilon)^n)\). On a de même \((a-\epsilon)^n)=O(u_n)\). 15. La suite \((u_n)\) converge si et seulement si les suites \((u_{2n})\) et \((u_{3n})\) convergent vers la même limite. Vrai Faux La suite définie par \(u_n=\begin{cases}1&\text{si \(n\equiv 1\bmod 6\)}\\ 0&\text{sinon}\end{cases}\) ne converge pas bien que les suites \((u_{2n})\) et \((u_{3n})\) soient nulles. 16. Si \((u_n)\) est strictement positive et \(\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1\) alors \(\lim u_n=0\). Vrai Faux C’est une conséquence de la comparaison logarithmique : si \(a=\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) alors pour tout \(\epsilon>0\), \(u_n=O((a+\epsilon)^n)\) et si on choisit \(\epsilon\) de manière à avoir \(a+\epsilon>1\) ceci implique que \(\lim u_n=0\). 17. Si \(u_n\sim v_n\) alors \(\text{e}^{u_n}\sim\text{e}^{v_n}\). Vrai Faux Ce n’est pas vrai lorsque les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) divergent vers \(+\infty\) (considérer par exemple \(u_n=n+1\) et \(v_n=n\)). 18. Si \(u_n\) est une suite réelle qui converge vers \(\ell\) et si \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) est continue en \(\ell\), la suite \((f(u_n))\) converge vers \(f(\ell)\). Vrai Faux C’est une conséquence de la caractérisation séquentielle de la continuité. 19. Si \(u_n\sim v_n\) et si la suite \((v_n)\) est décroissante, alors la suite \((u_n)\) est décroissante à partir d’un certain rang. Vrai Faux Considérer par exemple \(v_n=\dfrac1n\) et \(u_n=\dfrac1n+\dfrac{(-1)^n}{n^2}\). 20. Si la suite réelle \((u_n)\) converge, il en est de même de la suite \(\lfloor u_n\rfloor\) (la suite des parties entières de \(u_n\)). Vrai Faux La suite \(u_n=1+\frac{(-1)^n}{n}\) converge vers 1 alors que \(\lfloor u_n\rfloor=1\) lorsque \(n\) est pair et \(\lfloor u_n\rfloor=0\) lorsque \(n\) est impair. En revanche, lorsque \(f\) est continue la suite \(f(u_n)\) converge. 21. Si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont deux suites réelles convergentes, il en est de même de la suite \((\max(u_n,v_n))\). Vrai Faux La formule \(\max(x,y)=\frac12\bigl((x+y)+|x-y|\bigr)\) permet d’appliquer les théorèmes généraux. 22. Si \(u_n\sim v_n\) et \(\alpha\in\Bbb R\) alors \(u_n^\alpha\sim v_n^\alpha\). Vrai Faux Si \(\lim\dfrac{u_n}{v_n}=1\) alors \(\lim\Bigl(\dfrac{u_n}{v_n}\Bigr)^\alpha=1\). 23. Si les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont strictement positives et si \(u_n\sim v_n\) alors \(\ln(u_n)=\ln(v_n)+o(1)\). Vrai Faux \(\lim\dfrac{u_n}{v_n}=1\) donc \(\lim \ln\Bigl(\dfrac{u_n}{v_n}\Bigr)=0\). 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