Quiz suites et séries de fonctions

Soit \(f_n:x\mapsto\begin{cases}x&\text{si \(|x|\leq n\)}\\ 0&\text{sinon}\end{cases}\). Chacune des fonctions \(f_n\) est bornée sur \(\Bbb R\) : \(\|f_n\|_\infty=n\). Pourtant \((f_n)\) converge vers la fonction \(f:x\mapsto x\), non bornée sur \(\Bbb R\).

\(\|f_n-f\|_{\infty, [a,b]}=\max\bigl(\|f_n-f\|_{\infty, [a,b[}, |f_n(b)-f(b)|\bigr)\).

C’est une conséquence du théorème de dérivation des suites de fonctions.

C’est le contraire : le théorème de dérivation exige que \((f_n)\) converge simplement et \((f’_n)\) uniformément.

Les fonctions \(\displaystyle f_n:x\mapsto\frac{(-1)^n}{n^x}\) fournissent une contre-exemple sur l’intervalle \(I=]1,+∞[\).

Lorsque \(\|f_n\|_\infty=\frac1n\) la suite de fonctions \((f_n)\) converge uniformément vers 0 mais la série \(\displaystyle\sum f_n\) ne converge pas normalement puisque la série \(\displaystyle\sum \frac1n\) diverge.

Puisque la série \(\displaystyle\sum f_n\) converge, la suite \(f_n\) converge simplement vers 0. Puisque la convergence est uniforme on a \(\lim \|f_n\|_\infty=0\).

Or d’après le critère spécial \(\|R_n\|_∞≤\|f_{n+1}\|_∞\) donc la convergence de \(\displaystyle\sum f_n\) est uniforme.

On peut uniquement affirmer que la convergence est uniforme sur tout segment inclus dans \(I\).

C’est même vrai pour tout intervalle \(J\) inclus dans \(I\) car \(\|f_n-f\|_{\infty,J}\leq \|f_n-f\|_{\infty, I}\).

Soit \(x\) fixé. Si pour tout \(n\in\Bbb N\), \(f_n(-x)=f_n(x)\) alors par passage à la limite (simple) \(f(-x)=f(x)\).

Si on considère la suite  \(f_n:x\mapsto n\), la suite des fonctions dérivées est la suite nulle et pourtant \(f_n\) ne converge pas simplement, a fortiori uniformément.

Pour \(x<y\) fixés, on a pour tout \(n\in\Bbb N\), \(f_n(x)\leq f_n(y)\) et par passage à la limite \(f(x)\leq f(y)\).

\(\|f_n-f\|_{\infty, I\cup J}=\max\bigl(\|f_n-f\|_{\infty, I},\|f_n-f\|_{\infty, J}\bigr)\). Le résultat est en revanche faux si on réalise l’union d’un nombre infini d’intervalles.

Il suffit d’appliquer la propriété aux suites constantes pour obtenir la convergence simple.

Soit \(f_n:x\mapsto\begin{cases}x&\text{si \(|x|\leq n\)}\\ 0&\text{sinon}\end{cases}\). La suite \((f_n)\) converge simplement sur \(\Bbb R\) vers la fonction \(f:x\mapsto x\), la convergence est uniforme sur tout segment mais pas sur  \(\Bbb R\).

C’est le principe du recouvrement.

La convergence normale entraîne la convergence absolue et la convergence uniforme.

La condition est suffisante mais pas nécessaire : d’après le principe du télescopage la suite \(f_n\) converge uniformément si et seulement si la série \(\displaystyle\sum(f_{n+1}-f_n)\) converge uniformément, mais la convergence uniforme n’entraîne pas la convergence normale.

Pour un entier \(n\in\Bbb N\) quelconque, \(\|f\|_\infty\leq \|f_n\|_\infty+\|f_n-f\|_\infty\) donc \(f\) est bornée.

Soit \(f_n:x\mapsto\begin{cases}x&\text{si \(|x|\leq n\)}\\ 0&\text{sinon}\end{cases}\). Chacune des fonctions \(f_n\) a une limite nulle en \(+\infty\). Pourtant \((f_n)\) converge simplement vers la fonction \(f:x\mapsto x\), de limite non nulle en \(+\infty\).