Quiz suites et séries de fonctions Quiz suites et séries de fonctions 1. Si \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur tout segment inclus dans \(I\). Vrai Faux C’est même vrai pour tout intervalle \(J\) inclus dans \(I\) car \(\|f_n-f\|_{\infty,J}\leq \|f_n-f\|_{\infty, I}\). 2. Si la suite de fonctions \((f_n)\) converge uniformément vers 0, la série de fonctions \(\displaystyle\sum f_n\) converge normalement sur \(I\). Vrai Faux Lorsque \(\|f_n\|_\infty=\frac1n\) la suite de fonctions \((f_n)\) converge uniformément vers 0 mais la série \(\displaystyle\sum f_n\) ne converge pas normalement puisque la série \(\displaystyle\sum \frac1n\) diverge. 3. Si la suite de fonctions de classe \(\mathcal C^1\) \((f_n)\) converge simplement sur \(I\) et si la suite des fonctions dérivées \((f’_n)\) converge uniformément sur \(I\) alors la suite \((f_n)\) converge uniformément sur tout segment inclus dans \(I\). Vrai Faux C’est une conséquence du théorème de dérivation des suites de fonctions. 4. Si \(\displaystyle\sum f_n\) converge normalement sur toute segment inclus dans \(I\) alors \(\displaystyle\sum f_n\) converge uniformément sur \(I\). Vrai Faux On peut uniquement affirmer que la convergence est uniforme sur tout segment inclus dans \(I\). 5. Si la suite \(f_n\) converge uniformément sur \(I\) et si pour tout \(x\in I\) la série \(\displaystyle\sum f_n(x)\) vérifie les hypothèses du critère spécial relatif aux séries alternées alors la convergence de la série \(\displaystyle\sum f_n\) est uniforme sur \(I\). Vrai Faux Puisque la série \(\displaystyle\sum f_n\) converge, la suite \(f_n\) converge simplement vers 0. Puisque la convergence est uniforme on a \(\lim \|f_n\|_\infty=0\). Or d’après le critère spécial \(\|R_n\|_∞≤\|f_{n+1}\|_∞\) donc la convergence de \(\displaystyle\sum f_n\) est uniforme. 6. Si \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\) et sur \(J\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\cup J\). Vrai Faux \(\|f_n-f\|_{\infty, I\cup J}=\max\bigl(\|f_n-f\|_{\infty, I},\|f_n-f\|_{\infty, J}\bigr)\). Le résultat est en revanche faux si on réalise l’union d’un nombre infini d’intervalles. 7. Si \((f_n)\) converge uniformément sur tout segment inclus dans \(I\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\). Vrai Faux Soit \(f_n:x\mapsto\begin{cases}x&\text{si \(|x|\leq n\)}\\ 0&\text{sinon}\end{cases}\). La suite \((f_n)\) converge simplement sur \(\Bbb R\) vers la fonction \(f:x\mapsto x\), la convergence est uniforme sur tout segment mais pas sur \(\Bbb R\). 8. La suite de fonctions \(f_n\) converge uniformément sur \(I\) si et seulement si la série de fonctions \(\displaystyle\sum (f_{n+1}-f_n)\) converge normalement sur \(I\). Vrai Faux La condition est suffisante mais pas nécessaire : d’après le principe du télescopage la suite \(f_n\) converge uniformément si et seulement si la série \(\displaystyle\sum(f_{n+1}-f_n)\) converge uniformément, mais la convergence uniforme n’entraîne pas la convergence normale. 9. Si \((f_n)\) est une suite de fonctions de classe \(\mathcal C^1\) telle que \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) et \((f’_n)\) converge simplement vers \(g\), alors \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) et \(f’=g\). Vrai Faux C’est le contraire : le théorème de dérivation exige que \((f_n)\) converge simplement et \((f’_n)\) uniformément. 10. Une limite simple de fonctions paires est paire. Vrai Faux Soit \(x\) fixé. Si pour tout \(n\in\Bbb N\), \(f_n(-x)=f_n(x)\) alors par passage à la limite (simple) \(f(-x)=f(x)\). 11. Une limite simple de fonctions croissantes est croissante. Vrai Faux Pour \(x<y\) fixés, on a pour tout \(n\in\Bbb N\), \(f_n(x)\leq f_n(y)\) et par passage à la limite \(f(x)\leq f(y)\). 12. Soit \((f_n)\) une suite de fonctions telles que pour toute suite convergente \((x_n)\), la suite \((f_n(x_n))\) converge. Alors \((f_n)\) converge simplement. Vrai Faux Il suffit d’appliquer la propriété aux suites constantes pour obtenir la convergence simple. 13. Si une suite de fonctions continues \((f_n)\) converge simplement vers \(f\) sur tout segment inclus dans \(\Bbb R\) alors \(f\) est continue sur \(\Bbb R\). Vrai Faux C’est le principe du recouvrement. 14. Si la série de fonctions \(\displaystyle\sum f_n\) converge absolument et uniformément alors la série de fonctions \(\displaystyle\sum |f_n|\) converge uniformément. Vrai Faux Les fonctions \(\displaystyle f_n:x\mapsto\frac{(-1)^n}{n^x}\) fournissent une contre-exemple sur l’intervalle \(I=]1,+∞[\). 15. Si \((f_n)\) converge simplement sur \([a,b]\) et uniformément sur \([a,b[\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur \([a,b]\). Vrai Faux \(\|f_n-f\|_{\infty, [a,b]}=\max\bigl(\|f_n-f\|_{\infty, [a,b[}, |f_n(b)-f(b)|\bigr)\). 16. La limite uniforme d’une suite de fonctions bornées est bornée. Vrai Faux Pour un entier \(n\in\Bbb N\) quelconque, \(\|f\|_\infty\leq \|f_n\|_\infty+\|f_n-f\|_\infty\) donc \(f\) est bornée. 17. Si la série de fonctions \(\displaystyle\sum f_n\) converge normalement alors la série \(\displaystyle\sum |f_n|\) converge uniformément. Vrai Faux La convergence normale entraîne la convergence absolue et la convergence uniforme. 18. Une limite simple de fonctions de limites nulles en \(+\infty\) est de limite nulle en \(+\infty\). Vrai Faux Soit \(f_n:x\mapsto\begin{cases}x&\text{si \(|x|\leq n\)}\\ 0&\text{sinon}\end{cases}\). Chacune des fonctions \(f_n\) a une limite nulle en \(+\infty\). Pourtant \((f_n)\) converge simplement vers la fonction \(f:x\mapsto x\), de limite non nulle en \(+\infty\). 19. Si la suite des fonctions dérivées \((f_n’)\) converge uniformément sur \(I\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\). Vrai Faux Si on considère la suite \(f_n:x\mapsto n\), la suite des fonctions dérivées est la suite nulle et pourtant \(f_n\) ne converge pas simplement, a fortiori uniformément. 20. Une limite simple de fonctions bornées est bornée. Vrai Faux Soit \(f_n:x\mapsto\begin{cases}x&\text{si \(|x|\leq n\)}\\ 0&\text{sinon}\end{cases}\). Chacune des fonctions \(f_n\) est bornée sur \(\Bbb R\) : \(\|f_n\|_\infty=n\). Pourtant \((f_n)\) converge vers la fonction \(f:x\mapsto x\), non bornée sur \(\Bbb R\). Chargement …