Quiz séries numériques Quiz séries numériques 1. Si la série \(\sum u_n\) converge il en est de même de la série \(\sum u_{2n}\). Vrai Faux Pour \(u_n=\dfrac{(-1)^n}n\) la série \(\sum u_n\) converge et la série \(\sum u_{2n}\) diverge. 2. La somme de deux séries divergentes est divergente. Vrai Faux Si \(u_n=n+\dfrac1{n^2}\) et \(v_n=-n\) les deux séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) divergent alors que \(\sum(u_n+v_n)\) converge. 3. La valeur de la somme \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+∞}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt n}\) est comprise entre 0 et 1. Vrai Faux La somme d’une série vérifiant le critère spécial est toujours comprise entre deux sommes partielles consécutives, les deux premières valant ici 0 et 1. 4. Si \((u_n)\) est une suite positive vérifiant pour tout \(n\in\Bbb N\), \(u_{n+1}\leq\dfrac{u_n}2\), alors la série \(\sum u_n\) converge. Vrai Faux C’est une application du critère de d’Alembert. 5. Si \((u_n)\) est une suite positive telle que pour tout \(n\in\Bbb N\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1\), alors la série \(\sum u_n\) converge. Vrai Faux Ceci est mis en défaut pour \(u_n=\dfrac1n\). C’est une mauvaise application du critère de d’Alembert, qui exige qu’il existe \(a<1\) tel que \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}≤a\) pour en déduire la convergence de \(\sum u_n\). 6. Si la série \(\sum u_n\) converge, il en est de même de la série \(\sum(-1)^nu_n\). Vrai Faux La série \(\displaystyle\sum\frac{(-1)^n}n\) converge et pourtant la série \(\displaystyle\sum\frac{(-1)^{2n}}n\) diverge. En revanche, ce résultat est juste lorsqu’on suppose que la suite \((u_n)\) est à valeurs positives (absolue convergence). 7. Si la série \(\sum u_n\) converge, la suite \((u_n)\) converge. Vrai Faux On peut même ajouter que la suite \((u_n)\) converge vers 0. 8. La série \(\displaystyle\sum\frac1{n\ln n}\) converge. Vrai Faux Par comparaison à une intégrale on montre que cette série a même nature que la suite \((\ln\ln n)\). 9. La série \(\sum u_n\) converge si et seulement si les séries \(\sum u_{2n}\) et \(\sum u_{2n+1}\) convergent. Vrai Faux La condition est suffisante mais pas nécessaire : lorsque \(u_{2n}=\frac1n\) et \(u_{2n+1}=-\frac1n\) les deux séries \(\sum u_{2n}\) et \(\sum u_{2n+1}\) divergent et la série \(\sum u_n\) converge (ses sommes partielles valent 0 ou \(-\frac 1n\) suivant la parité de \(n\)). 10. Si les séries \(\sum u_{2n}\) et \(\sum u_{2n+1}\) convergent, la série \(\sum u_n\) converge. Vrai Faux Posons \(\displaystyle s_n=\sum_{k=0}^nu_k\). Les suites \((s_{2p})\) et \((s_{2p+1})\) convergent toutes deux vers \(\displaystyle \sum_nu_{2n}+\sum_nu_{2n+1}\) donc il en est de même de la suite \((s_n)\). 11. Si la série \(\sum |u_n|\) diverge, il en est de même de la série \(\sum u_n\). Vrai Faux La série \(\displaystyle\sum\frac1n\) diverge et pourtant la série \(\displaystyle\sum\frac{(-1)^n}n\) converge. 12. Si la suite \((u_n)\) est à valeurs positives et si la série \(\sum u_n\) converge, il en est de même de \(\sum u_n^2\). Vrai Faux On a \(u_n^2=o(u_n)\) et les deux séries sont à terme général positif. 13. Si la série \(\sum u_n\) converge, il en est de même de la série \(\sum u_n^2\). Vrai Faux La série \(\displaystyle\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\) converge (critère spécial) et pourtant la série \(\displaystyle\sum \frac1n\) diverge. 14. La somme de deux séries divergentes à termes positifs est divergente. Vrai Faux Les deux suites des sommes partielles tendent toutes deux vers \(+\infty\) donc il en est de même de leur somme. 15. Si \(u_n=o\Bigl(\dfrac1n\Bigr)\) la série \(\sum u_n\) converge. Vrai Faux La série \(\displaystyle\sum\frac1{n\ln n}\) diverge (par comparaison à une intégrale). 16. La série \(\displaystyle\sum\frac{(\ln n)^2}{n\sqrt n}\) converge. Vrai Faux Par croissance comparée on peut dominer le terme général par \(\dfrac1{n^\alpha}\) dès lors que \(1<\alpha<3/2\). 17. Si la série \(\sum u_n\) converge, \(u_n=o\Bigl(\dfrac1n\Bigr)\). Vrai Faux Si \(u_n=\begin{cases}1/n&\text{lorsque \(n\) est un carré}\\ 0&\text{sinon}\end{cases}\), la série \(\sum u_n\) converge mais \((nu_n)\) ne tend pas vers 1 car la sous-suite \((p^2u_{p^2})\) est constante égale à 1. 18. La série \(\displaystyle\sum\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha>1\). Vrai Faux Cette série converge absolument lorsque \(\alpha>1\) d’après le critère de Riemann, mais converge aussi lorsque \(0<\alpha\leq 1\) d’après le critère spécial relatif aux séries alternées. 19. Si la série \(\sum u_n\) diverge, il en est de même de la série \(\sum|u_n|\). Vrai Faux Par contraposée, si la série \(\sum|u_n|\) converge, il en est de même de la série \(\sum u_n\) (notion d’absolue convergence). 20. Si la série \(\sum u_n\) diverge, la suite \((u_n)\) ne tend pas vers 0. Vrai Faux La suite \(\Bigl(\dfrac1n\Bigr)\) converge vers 0 bien que la série \(\displaystyle\sum \dfrac1n\) diverge. 21. Si \(u_n=o\Bigl(\dfrac{(-1)^n}n\Bigr)\) la série \(\sum u_n\) converge. Vrai Faux Le théorème de comparaison ne s’applique qu’aux séries à terme général positif. 22. Si les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont à valeurs positives et convergent, il en est de même de la série \(\sum\max(u_n,v_n)\). Vrai Faux On peut majorer \(\max(u_n,v_n)\) par \(u_n+v_n\). Chargement …
