Quiz séries entières

1. Si \(\sum a_nz^n\) et \(\sum(b_nz^n)\) ont pour rayons de convergence respectifs \(R_a\) et \(R_b\), le rayon de convergence de \(\sum(a_n+b_n)z^n\) est égal à \(\min(R_a,R_b)\).

2. S’il existe \(\eta>0\) tel que pour tout \(x\in[-\eta,\eta]\), \(\sum_na_nx^n=0\) alors pour tout \(n\), \(a_n=0\).

3. Le rayon de convergence \(R\) de \(\sum a_nz^n\) est égal à \(\sup\bigl\{\rho≥0\bigm|\sum a_n\rho^n\text{ converge}\bigr\}\).

4. Si la suite \((a_n)\) ne s’annule pas, le rayon de convergence de \(\sum a_nz^n\) vaut \(\lim\Bigl|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\Bigr|\).

5. Si la limite \(\ell=\lim\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\) existe, le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^{2n}\) est égal à \(\dfrac1{\ell^2}\).

6. Si \(\lim\tfrac{a_{n+1}}{a_n}=0\) la série \(\sum a_nz^n\) converge pour tout \(z\in\Bbb C\).

7. Les séries entières \(\sum a_nz^n\) et \(\sum\tfrac{a_n}{n+1}z^{n+1}\) ont même rayon de convergence.

8. Si \(R\) est le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nx^n\), la convergence de cette dernière est normale sur \(]-R,R[\).

9. Si la série \(\sum a_n2^n\) converge, le rayon de convergence est supérieur ou égal à 2.

10. Si \(f(x)=\sum a_nx^n\) est une série entière de rayon de convergence égal à \(R\), la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal C^\infty\) sur \(]-R,R[\), et \(a_n=n!f^{(n)}(0)\).

11. Si \(\lim a_n=0\) le rayon de convergence de \(\sum a_nz^n\) est supérieur ou égal à 1.

12. La fonction \(x\mapsto\text{arctan}(x)\) est développable en série entière sur \(\Bbb R\).

13. Le produit de deux fonctions développables en série entière est développable en série entière.

14. Le rayon de convergence \(R\) de \(\sum a_nz^n\) est égal à \(\sup\bigl\{\rho≥0\bigm|\lim a_n\rho^n=0\bigr\}\)

15. Si \(a_n=O(b_n)\) le rayon de convergence de \(\sum a_nz^n\) est inférieur ou égal au rayon de convergence de \(\sum b_nz^n\).