Quiz séries entières

1. Si la suite \((a_n)\) ne s’annule pas, le rayon de convergence de \(\sum a_nz^n\) vaut \(\lim\Bigl|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\Bigr|\).

2. Si \(\lim a_n=0\) le rayon de convergence de \(\sum a_nz^n\) est supérieur ou égal à 1.

3. Le produit de deux fonctions développables en série entière est développable en série entière.

4. Si \(R\) est le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nx^n\), la convergence de cette dernière est normale sur \(]-R,R[\).

5. La fonction \(x\mapsto\text{arctan}(x)\) est développable en série entière sur \(\Bbb R\).

6. Si \(\sum a_nz^n\) et \(\sum(b_nz^n)\) ont pour rayons de convergence respectifs \(R_a\) et \(R_b\), le rayon de convergence de \(\sum(a_n+b_n)z^n\) est égal à \(\min(R_a,R_b)\).

7. S’il existe \(\eta>0\) tel que pour tout \(x\in[-\eta,\eta]\), \(\sum_na_nx^n=0\) alors pour tout \(n\), \(a_n=0\).

8. Le rayon de convergence \(R\) de \(\sum a_nz^n\) est égal à \(\sup\bigl\{\rho≥0\bigm|\sum a_n\rho^n\text{ converge}\bigr\}\).

9. Si \(\lim\tfrac{a_{n+1}}{a_n}=0\) la série \(\sum a_nz^n\) converge pour tout \(z\in\Bbb C\).

10. Si \(a_n=O(b_n)\) le rayon de convergence de \(\sum a_nz^n\) est inférieur ou égal au rayon de convergence de \(\sum b_nz^n\).

11. Si la série \(\sum a_n2^n\) converge, le rayon de convergence est supérieur ou égal à 2.

12. Le rayon de convergence \(R\) de \(\sum a_nz^n\) est égal à \(\sup\bigl\{\rho≥0\bigm|\lim a_n\rho^n=0\bigr\}\)

13. Si \(f(x)=\sum a_nx^n\) est une série entière de rayon de convergence égal à \(R\), la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal C^\infty\) sur \(]-R,R[\), et \(a_n=n!f^{(n)}(0)\).

14. Si la limite \(\ell=\lim\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\) existe, le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^{2n}\) est égal à \(\dfrac1{\ell^2}\).

15. Les séries entières \(\sum a_nz^n\) et \(\sum\tfrac{a_n}{n+1}z^{n+1}\) ont même rayon de convergence.