Quiz réduction des endomorphismes

Quiz réduction des endomorphismes

1. Si \(A\) est diagonalisable et possède 0 pour unique valeur propre, alors \(A=0\).

 
 

2. Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé.

 
 

3. Si \(A\) est diagonalisable et possède \(1\) pour unique valeur propre, alors \(A=I\).

 
 

4. Si \(A\) est une matrice de taille \(n\), le coefficient de \(X^{n-1}\) dans le polynôme caractéristique de \(A\) est égal à \(\text{tr}(A)\).

 
 

5. Le vecteur nul est vecteur propre de toute valeur propre de \(A\).

 
 

6. Si \(A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\), son polynôme caractéristique est égal à \(X^2-\text{tr}(A)X+\text{det}(A)\).

 
 

7. Si la matrice \(A\) est triangulaire, la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre \(\lambda\) est égale au nombre de présences de \(\lambda\) sur la diagonale de \(A\).

 
 

8. Si la matrice \(A\) est diagonale, la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre \(\lambda\) est égale au nombre de présences de \(\lambda\) sur la diagonale de \(A\).

 
 

9. Si \(A\) est diagonalisable, il en est de même de \(A^2\).

 
 

10. Si \(A\) est une matrice à coefficients dans \(\Bbb C\) telle que \(A^2\) soit diagonalisable, alors \(A\) est aussi diagonalisable.

 
 

11. Une projection vectorielle est toujours diagonalisable.

 
 

12. La dimension d’un sous-espace propre est supérieure ou égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante.

 
 

13. Une matrice diagonalisable \(A\) est inversible si et seulement si \(0\) n’est pas valeur propre de \(A\).

 
 

14. Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la dimension de chaque sous-espace propre est égal à la multiplicité de la valeur propre correspondante.

 
 

15. Toute matrice de rang 1 est diagonalisable.

 
 

16. Si \(u\) est un endomorphisme, ses sous-espaces propres sont stables par \(u\).

 
 

17. Si \(A\) est diagonalisable et inversible, alors \(A^{-1}\) est aussi diagonalisable et inversible.

 
 

18. Si \(u\) est un endomorphisme diagonalisable, les sous-espaces stables par \(u\) sont les sous-espaces propres de \(u\).

 
 

19. Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les valeurs présentes sur sa diagonale.

 
 

20. \(A\) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

 
 

21. Toute matrice est trigonalisable.

 
 

22. Si \(A\) est une matrice diagonalisable et nilpotente (c’est-à-dire si \(A^n=0\)), alors \(A=0\).

 
 

23. Tout endomorphisme possède au moins une valeur propre.

 
 

24. Un endomorphisme \(u\) est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à \(n\), dimension de l’espace.