Quiz réduction des endomorphismes

Quiz réduction des endomorphismes

1. Si \(u\) est un endomorphisme, ses sous-espaces propres sont stables par \(u\).

 
 

2. Si la matrice \(A\) est triangulaire, la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre \(\lambda\) est égale au nombre de présences de \(\lambda\) sur la diagonale de \(A\).

 
 

3. Si \(A\) est diagonalisable et inversible, alors \(A^{-1}\) est aussi diagonalisable et inversible.

 
 

4. Si \(A\) est diagonalisable et possède \(1\) pour unique valeur propre, alors \(A=I\).

 
 

5. Si \(A\) est diagonalisable et possède 0 pour unique valeur propre, alors \(A=0\).

 
 

6. Toute matrice est trigonalisable.

 
 

7. Une matrice diagonalisable \(A\) est inversible si et seulement si \(0\) n’est pas valeur propre de \(A\).

 
 

8. Si \(A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\), son polynôme caractéristique est égal à \(X^2-\text{tr}(A)X+\text{det}(A)\).

 
 

9. Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les valeurs présentes sur sa diagonale.

 
 

10. Si \(A\) est diagonalisable, il en est de même de \(A^2\).

 
 

11. Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la dimension de chaque sous-espace propre est égal à la multiplicité de la valeur propre correspondante.

 
 

12. La dimension d’un sous-espace propre est supérieure ou égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante.

 
 

13. Toute matrice de rang 1 est diagonalisable.

 
 

14. \(A\) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

 
 

15. Si \(A\) est une matrice diagonalisable et nilpotente (c’est-à-dire si \(A^n=0\)), alors \(A=0\).

 
 

16. Un endomorphisme \(u\) est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à \(n\), dimension de l’espace.

 
 

17. Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé.

 
 

18. Si \(u\) est un endomorphisme diagonalisable, les sous-espaces stables par \(u\) sont les sous-espaces propres de \(u\).

 
 

19. Si \(A\) est une matrice à coefficients dans \(\Bbb C\) telle que \(A^2\) soit diagonalisable, alors \(A\) est aussi diagonalisable.

 
 

20. Si la matrice \(A\) est diagonale, la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre \(\lambda\) est égale au nombre de présences de \(\lambda\) sur la diagonale de \(A\).

 
 

21. Le vecteur nul est vecteur propre de toute valeur propre de \(A\).

 
 

22. Tout endomorphisme possède au moins une valeur propre.

 
 

23. Si \(A\) est une matrice de taille \(n\), le coefficient de \(X^{n-1}\) dans le polynôme caractéristique de \(A\) est égal à \(\text{tr}(A)\).

 
 

24. Une projection vectorielle est toujours diagonalisable.