Quiz probabilités

Quiz probabilités

1. Si \(\Omega\) est un ensemble, \(\{\emptyset, \Omega\}\) est une tribu.

 
 

2. Si \(X\) admet un moment d’ordre 2 alors \(E(X)^2\leq E(X^2)\).

 
 

3. Si \(X\) est d’espérance nulle alors \(\text{e}^X\) a une espérance égale à 1.

 
 

4. Si \(X\) possède un moment d’ordre 2 alors pour tout \(\epsilon>0\) on a \(P(|X-E(X)|\leq\epsilon)\leq\frac{V(X)}{\epsilon^2}\).

 
 

5.

Si \(X\) et\(Y\) sont deux variables aléatoires à valeur entières, alors leurs séries génératrices vérifient \(G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t)\).

 
 

6. Soit \(A\) un événement de probabilité non nulle, et \(B\) un événement tel que \(P(B\mid A)=1\). Alors \(B\subset A\).

 
 

7. Si \(X,Y,Z\) sont trois variables aléatoires telles que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ainsi que \(X\) et \(Z\), alors \(X\) est indépendante de la variable \((Y,Z)\).

 
 

8. Soit \(A_n\) un système complet d’événements et \(B\) un événement. Alors \(\displaystyle P(B)=\sum_nP(A_n\cap B)\).

 
 

9. Deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si et seulement si \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\).

 
 

10. Soit \(P\) une probabilité définie sur \(({\Bbb N}, \mathcal P({\Bbb N}))\). Alors \(\lim P(\{n\})=0\).

 
 

11. Si \(\Omega\) est un ensemble, \(\mathcal P(\Omega)\) est une tribu si et seulement si \(\Omega\) est fini ou dénombrable.

 
 

12. Si deux événements sont à la fois indépendants et incompatibles, l’un des deux est quasi-impossible.

 
 

13.

\(X\) admet un moment d’ordre 2 si et seulement si sa série génératrice \(G_X\) est deux fois dérivable en 1, et dans ce cas, \(V(X)=G_X'(1)+G_X(1)-G_X(1)^2\).

 
 

14. Seules les lois géométriques sont sans mémoire.

 
 

15. La somme de deux variables qui suivent une loi de Poisson suit une loi de Poisson.

 
 

16. Si \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\) alors \(n-X\) suit elle aussi une loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\).

 
 

17. Si \(X,Y,Z\) sont trois variables aléatoires telles que \(X\) est indépendante de la variable \((Y,Z)\), alors \(X\) est indépendante de \(Y\) et de \(Z\).

 
 

18. Trois événements indépendants sont deux à deux indépendants.

 
 

19. La somme de deux variables indépendantes de lois uniformes suit une loi uniforme.

 
 

20. Soit \(A\) un événement de probabilité non nulle. Alors pour tout événement \(B\) on a \(P(B\mid A)\leq P(B)\).

 
 

21. Soit \(A\) un événement indépendant de \(\overline A\). Alors \(P(A)\in\{0,1\}\).

 
 

22. Une variable aléatoire peut être indépendante d’elle même.

 
 

23. Soit \(A\) un événement tel que \(P(A)\in]0,1[\), et \(B\) un événement. Alors \(P(B\mid A)+P(B\mid\overline A)=1\).

 
 

24. Deux événements incompatibles sont indépendants.