Quiz probabilités

Quiz probabilités

1. Si \(X,Y,Z\) sont trois variables aléatoires telles que \(X\) est indépendante de la variable \((Y,Z)\), alors \(X\) est indépendante de \(Y\) et de \(Z\).

 
 

2.

\(X\) admet un moment d’ordre 2 si et seulement si sa série génératrice \(G_X\) est deux fois dérivable en 1, et dans ce cas, \(V(X)=G_X'(1)+G_X(1)-G_X(1)^2\).

 
 

3. Une variable aléatoire peut être indépendante d’elle même.

 
 

4. Si \(X\) possède un moment d’ordre 2 alors pour tout \(\epsilon>0\) on a \(P(|X-E(X)|\leq\epsilon)\leq\frac{V(X)}{\epsilon^2}\).

 
 

5. La somme de deux variables indépendantes de lois uniformes suit une loi uniforme.

 
 

6.

Si \(X\) et\(Y\) sont deux variables aléatoires à valeur entières, alors leurs séries génératrices vérifient \(G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t)\).

 
 

7. Soit \(A_n\) un système complet d’événements et \(B\) un événement. Alors \(\displaystyle P(B)=\sum_nP(A_n\cap B)\).

 
 

8. Soit \(A\) un événement de probabilité non nulle, et \(B\) un événement tel que \(P(B\mid A)=1\). Alors \(B\subset A\).

 
 

9. Soit \(A\) un événement tel que \(P(A)\in]0,1[\), et \(B\) un événement. Alors \(P(B\mid A)+P(B\mid\overline A)=1\).

 
 

10. Si \(\Omega\) est un ensemble, \(\mathcal P(\Omega)\) est une tribu si et seulement si \(\Omega\) est fini ou dénombrable.

 
 

11. Si \(\Omega\) est un ensemble, \(\{\emptyset, \Omega\}\) est une tribu.

 
 

12. Seules les lois géométriques sont sans mémoire.

 
 

13. Si \(X,Y,Z\) sont trois variables aléatoires telles que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ainsi que \(X\) et \(Z\), alors \(X\) est indépendante de la variable \((Y,Z)\).

 
 

14. Soit \(A\) un événement indépendant de \(\overline A\). Alors \(P(A)\in\{0,1\}\).

 
 

15. Deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si et seulement si \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\).

 
 

16. Trois événements indépendants sont deux à deux indépendants.

 
 

17. Si deux événements sont à la fois indépendants et incompatibles, l’un des deux est quasi-impossible.

 
 

18. Si \(X\) admet un moment d’ordre 2 alors \(E(X)^2\leq E(X^2)\).

 
 

19. Si \(X\) est d’espérance nulle alors \(\text{e}^X\) a une espérance égale à 1.

 
 

20. Si \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\) alors \(n-X\) suit elle aussi une loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\).

 
 

21. Soit \(P\) une probabilité définie sur \(({\Bbb N}, \mathcal P({\Bbb N}))\). Alors \(\lim P(\{n\})=0\).

 
 

22. La somme de deux variables qui suivent une loi de Poisson suit une loi de Poisson.

 
 

23. Deux événements incompatibles sont indépendants.

 
 

24. Soit \(A\) un événement de probabilité non nulle. Alors pour tout événement \(B\) on a \(P(B\mid A)\leq P(B)\).