Quiz polynômes

Quiz polynômes

1. L’ensemble \({\Bbb K}_n[X]\) des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) est un \(\Bbb K\)-espace vectoriel de dimension \(n\).

 
 

2. \(a\) est racine double de \(P\) si et seulement si \(P(a)=P'(a)=0\).

 
 

3. Si deux polynômes \(P\) et \(Q\) vérifient : \(\forall t\in[-1,1]\), \(P(t)=Q(t)\) alors \(P=Q\).

 
 

4. Tout polynôme non constant de \({\Bbb C}[X]\) est scindé.

 
 

5. \(a\) est une racine multiple de \(P\) si et seulement si \((X-a)^2\) divise \(P\).

 
 

6. La famille \((P_k)_{0≤k≤n}\) est une base de \({\Bbb K}_n[X]\) si et seulement si pour tout \(k\in\{0,1,\ldots,n\}\), \(\text{deg}\,(P_k)=k\).

 
 

7. Si pour tout \(t\in[0,1]\), \(P(t)Q(t)=0\)  alors \(P=0\) ou \(Q=0\).

 
 

8. Un polynôme \(P\in{\Bbb R}[X]\) de degré 4 et sans racine est irréductible.

 
 

9. Si \(z\in{\Bbb C}\setminus{\Bbb R}\) est racine de \(P\in{\Bbb R}[X]\) alors son conjugué \(\overline z\) est aussi racine de \(P\).

 
 

10. Tout polynôme possède un nombre fini de racines.

 
 

11. \(a\) est racine de \(P\) si et seulement si le polynôme \(X-a\) divise \(P\).

 
 

12. Tout polynôme réel de degré 3 possède au moins une racine.

 
 

13. Pour tout \((P,Q)\in{\Bbb K}[X]^2\), \(\text{deg}\,(P+Q)=\text{max}\,(\text{deg}\,(P),\text{deg}\,(Q))\).

 
 

14. Pour tout \((P,Q)\in{\Bbb K}[X]^2\), \(\text{deg}\,(PQ)=\text{deg}\,(P)+\text{deg}\,(Q)\).

 
 

15. Si \(S\) est un polynôme non nul de degré \(n≥1\), l’application qui à \(P\in{\Bbb K}[X]\) associe le reste par la division euclidienne de \(P\) par \(S\) est une projection vectorielle sur \({\Bbb K}_{n-1}[X]\).

 
 

16. Un polynôme \(P\in{\Bbb C}[X]\) de degré \(n\) possède exactement \(n\) racines distinctes.

 
 

17. Les polynômes irréductibles de \({\Bbb R}[X]\) sont les polynômes de degré 2 sans racine.

 
 

18. Un polynôme scindé de degré \(n≥0\) possède \(n\) racines distinctes.

 
 

19. Si \(P\) est un polynôme non nul, l’ensemble des multiples de \(P\) est un sous-espace vectoriel de dimension infinie de \({\Bbb K}[X]\).

 
 

20. Un polynôme de degré \(n\) qui possède \(n+1\) racines est le polynôme nul.