Quiz polynômes

1. Si \(S\) est un polynôme non nul de degré \(n≥1\), l’application qui à \(P\in{\Bbb K}[X]\) associe le reste par la division euclidienne de \(P\) par \(S\) est une projection vectorielle sur \({\Bbb K}_{n-1}[X]\).

2. Tout polynôme non constant de \({\Bbb C}[X]\) est scindé.

3. Si deux polynômes \(P\) et \(Q\) vérifient : \(\forall t\in[-1,1]\), \(P(t)=Q(t)\) alors \(P=Q\).

4. \(a\) est racine double de \(P\) si et seulement si \(P(a)=P'(a)=0\).

5. \(a\) est racine de \(P\) si et seulement si le polynôme \(X-a\) divise \(P\).

6. Pour tout \((P,Q)\in{\Bbb K}[X]^2\), \(\text{deg}\,(PQ)=\text{deg}\,(P)+\text{deg}\,(Q)\).

7. Tout polynôme réel de degré 3 possède au moins une racine.

8. \(a\) est une racine multiple de \(P\) si et seulement si \((X-a)^2\) divise \(P\).

9. Les polynômes irréductibles de \({\Bbb R}[X]\) sont les polynômes de degré 2 sans racine.

10. Si \(P\) est un polynôme non nul, l’ensemble des multiples de \(P\) est un sous-espace vectoriel de dimension infinie de \({\Bbb K}[X]\).

11. Tout polynôme possède un nombre fini de racines.

12. Si \(z\in{\Bbb C}\setminus{\Bbb R}\) est racine de \(P\in{\Bbb R}[X]\) alors son conjugué \(\overline z\) est aussi racine de \(P\).

13. Un polynôme \(P\in{\Bbb R}[X]\) de degré 4 et sans racine est irréductible.

14. Pour tout \((P,Q)\in{\Bbb K}[X]^2\), \(\text{deg}\,(P+Q)=\text{max}\,(\text{deg}\,(P),\text{deg}\,(Q))\).

15. Un polynôme \(P\in{\Bbb C}[X]\) de degré \(n\) possède exactement \(n\) racines distinctes.

16. L’ensemble \({\Bbb K}_n[X]\) des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) est un \(\Bbb K\)-espace vectoriel de dimension \(n\).

17. La famille \((P_k)_{0≤k≤n}\) est une base de \({\Bbb K}_n[X]\) si et seulement si pour tout \(k\in\{0,1,\ldots,n\}\), \(\text{deg}\,(P_k)=k\).

18. Un polynôme de degré \(n\) qui possède \(n+1\) racines est le polynôme nul.

19. Un polynôme scindé de degré \(n≥0\) possède \(n\) racines distinctes.

20. Si pour tout \(t\in[0,1]\), \(P(t)Q(t)=0\)  alors \(P=0\) ou \(Q=0\).