Quiz intégration

Quiz intégration

1. Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) alors \(\displaystyle\lim\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(k\frac{b-a}n\Bigr)=\int_a^bf(t)dt\).

 
 

2. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{t\ln t}\) est intégrable sur \([2,+∞[\).

 
 

3. Si une fonction continue sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, elle tend vers 0 en \(+∞\).

 
 

4. Si une fonction continue et intégrable sur \(\Bbb R_+\) possède une limite en \(+∞\), celle-ci est nulle.

 
 

5. Une fonction \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) est intégrable lorsqu’elle est continue par morceaux et \(\displaystyle\int_{\Bbb R}f(t)dt\) converge.

 
 

6. Si une fonction continue est intégrable sur \(\Bbb R_+\), elle est bornée.

 
 

7. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{(t-1)^\alpha}\) est intégrable sur \(]1,2]\) si et seulement si \(\alpha<1\).

 
 

8. Si une fonction continue sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, \(\displaystyle\lim_{x\to+∞}\int_x^{x^2}f(t)dt=0\).

 
 

9. La fonction \(t\mapsto\ln t\) est intégrable sur \(]0,1]\).

 
 

10. Si une fonction continue et monotone sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, elle tend vers 0 en \(+∞\).

 
 

11. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{\sqrt{1-t^2}}\) est intégrable sur \(]-1,1[\).

 
 

12. Si \(f\) est continue et vérifie \(\displaystyle\Bigl|\int_a^bf(t)dt\Bigr|=\int_a^b|f(t)|dt\) alors \(f\) est de signe constant.

 
 

13. Si \(f\) est continue et positive sur \(\Bbb R_+\), la série \(\displaystyle \sum f(n)\) converge si et seulement si l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+∞}f(t)dt\) converge.

 
 

14. Si \(f\) est continue sur \([0,1]\) alors \(\displaystyle\lim\frac1n\sum_{k=0}^{n}f\Bigl(\frac kn\Bigr)=\int_0^1f(t)dt\).

 
 

15. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac{\sin t}t\) est intégrable sur \(]0,+∞[\).

 
 

16. Une fonction \(f\) est intégrable sur \(\Bbb R\) si et seulement si elle est intégrable sur tout segment de \(\Bbb R\).

 
 

17. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction \(f\) \(T\)-périodique est elle-même \(T\)-périodique.

 
 

18. Le produit de deux fonctions intégrables sur \(\Bbb R\) est intégrable sur \(\Bbb R\).

 
 

19. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction paire \(f\) est impaire.

 
 

20. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction impaire \(f\) est paire.

 
 

21. La somme de deux fonctions intégrables sur \(\Bbb R\) est intégrable sur \(\Bbb R\).

 
 

22. Si la fonction \(f\) est continue sur \(]0,1]\) et admet une limite finie en 0 alors \(f\) est intégrable.