Quiz intégration Quiz intégration 1. Si \(f\) est continue et positive sur \(\Bbb R_+\), la série \(\displaystyle \sum f(n)\) converge si et seulement si l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+∞}f(t)dt\) converge. Vrai Faux Il faut supposer en plus \(f\) décroissante (comparaison série/intégrale). 2. Si \(f\) est continue sur \([0,1]\) alors \(\displaystyle\lim\frac1n\sum_{k=0}^{n}f\Bigl(\frac kn\Bigr)=\int_0^1f(t)dt\). Vrai Faux Cela reste valable avec \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\) ou encore \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\). 3. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{\sqrt{1-t^2}}\) est intégrable sur \(]-1,1[\). Vrai Faux Elle est paire et équivalente à \(\displaystyle\frac1{2(1-t)^{1/2}}\) au voisinage de 1. 4. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction impaire \(f\) est paire. Vrai Faux Il existe une constante \(k\) telle que \(\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt+k\), et le changement de variable \(u=-t\) donne \(F(-x)=F(x)\). 5. Si \(f\) est continue et vérifie \(\displaystyle\Bigl|\int_a^bf(t)dt\Bigr|=\int_a^b|f(t)|dt\) alors \(f\) est de signe constant. Vrai Faux Suivant le signe de \(\displaystyle\int_a^bf(t)dt\) on a \(\displaystyle\int_a^b\bigl(|f(t)|-f(t)\bigr)dt=0\) ou \(\displaystyle\int_a^b\bigl(|f(t)|+f(t)\bigr)dt=0\) et l’intégrale d’une fonction continue et positive n’est nulle que si cette fonction est nulle. 6. Si une fonction continue sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, elle tend vers 0 en \(+∞\). Vrai Faux Les primitives \(F\) peuvent posséder une limite sans que leur dérivée \(f\) en ait une, comme par exemple \(F(x)=x\sin(1/x)\) et \(f(x)=\sin(1/x)-1/x\sin(1/x)\). 7. La somme de deux fonctions intégrables sur \(\Bbb R\) est intégrable sur \(\Bbb R\). Vrai Faux \(|f+g|≤|f|+|g|\) (l’espace \(L^1(\Bbb R)\) est un espace vectoriel). 8. Si une fonction continue est intégrable sur \(\Bbb R_+\), elle est bornée. Vrai Faux Les primitives \(F\) peuvent posséder une limite sans que leur dérivée \(f\) soient bornées, comme par exemple \(F(x)=\dfrac{\sin(x^3)}x\) et \(f(x)=3x\cos(x^3)-\dfrac{\sin(x^3)}{x^2}\). 9. Si une fonction continue et intégrable sur \(\Bbb R_+\) possède une limite en \(+∞\), celle-ci est nulle. Vrai Faux Si cette limite \(\ell\) est non nulle, les intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)dt\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\ell dt\) ont même nature, et cette dernière intégrale diverge. 10. Une fonction \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) est intégrable lorsqu’elle est continue par morceaux et \(\displaystyle\int_{\Bbb R}f(t)dt\) converge. Vrai Faux Il faut que l’intégrale \(\displaystyle\int_{\Bbb R}\bigl|f(t)\bigr|dt\) converge. 11. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{(t-1)^\alpha}\) est intégrable sur \(]1,2]\) si et seulement si \(\alpha<1\). Vrai Faux Le changement de variable \(u=t-1\) se ramène à une intégrale de Riemann de référence. 12. La fonction \(t\mapsto\ln t\) est intégrable sur \(]0,1]\). Vrai Faux Au voisinage de 0, \(\ln t=o\Bigl(\dfrac1{t^{1/2}}\Bigr)\). 13. Le produit de deux fonctions intégrables sur \(\Bbb R\) est intégrable sur \(\Bbb R\). Vrai Faux Il faut que les deux fonctions soient de carré intégrable (l’espace \(L^2(\Bbb R)\) est un espace vectoriel). 14. Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) alors \(\displaystyle\lim\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(k\frac{b-a}n\Bigr)=\int_a^bf(t)dt\). Vrai Faux L’expression correcte des sommes de Riemann est \(\displaystyle\lim\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(a+k\frac{b-a}n\Bigr)=\int_a^bf(t)dt\). 15. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction paire \(f\) est impaire. Vrai Faux Il existe une constante \(k\) telle que \(\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt+k\), et le changement de variable \(u=-t\) donne \(F(-x)=2k-F(x)\) donc \(F\) n’est impaire que si \(k=0\). 16. Si la fonction \(f\) est continue sur \(]0,1]\) et admet une limite finie en 0 alors \(f\) est intégrable. Vrai Faux L’intégrale \(\displaystyle\int_0^1f(t)dt\) est faussement impropre. 17. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction \(f\) \(T\)-périodique est elle-même \(T\)-périodique. Vrai Faux Il existe une constante \(k\) telle que \(\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt+k\), et pour tout \(x\in\Bbb R\), \(F'(x+T)-F'(x)=0\) donc \(\displaystyle F(x+T)-F(x)=F(T)-F(0)=\int_0^Tf(t)dt\). La fonction \(F\) n’est \(T\)-périodique que si \(\displaystyle\int_0^Tf(t)dt=0\). 18. Si une fonction continue sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, \(\displaystyle\lim_{x\to+∞}\int_x^{x^2}f(t)dt=0\). Vrai Faux On a \(\displaystyle\int_x^{x^2}f(t)dt=\int_0^{x^2}f(t)dt-\int_0^xf(t)dt\) et ces deux intégrales ont même limite. 19. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac{\sin t}t\) est intégrable sur \(]0,+∞[\). Vrai Faux L’intégrale de Dirichlet \(\displaystyle\int_0^{+∞}\frac{\sin t}tdt\) converge mais l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+∞}\Bigl|\frac{\sin t}t\Bigr|dt\) diverge. 20. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{t\ln t}\) est intégrable sur \([2,+∞[\). Vrai Faux Une primitive est \(\ln(\ln t)\), qui diverge en \(+∞\). 21. Si une fonction continue et monotone sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, elle tend vers 0 en \(+∞\). Vrai Faux \(\displaystyle\lim_{x\to+∞}\int_x^{x+1}f(t)dt=0\) et on applique la technique de comparaison à une intégrale. 22. Une fonction \(f\) est intégrable sur \(\Bbb R\) si et seulement si elle est intégrable sur tout segment de \(\Bbb R\). Vrai Faux La notion de fonction intégrable sur un segment n’a pas beaucoup d’intérêt puisqu’elle se confond avec la notion de fonction continue par morceaux. Chargement …
