Quiz intégration

Quiz intégration

1. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{(t-1)^\alpha}\) est intégrable sur \(]1,2]\) si et seulement si \(\alpha<1\).

 
 

2. Une fonction \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) est intégrable lorsqu’elle est continue par morceaux et \(\displaystyle\int_{\Bbb R}f(t)dt\) converge.

 
 

3. Le produit de deux fonctions intégrables sur \(\Bbb R\) est intégrable sur \(\Bbb R\).

 
 

4. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{\sqrt{1-t^2}}\) est intégrable sur \(]-1,1[\).

 
 

5. Si une fonction continue sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, \(\displaystyle\lim_{x\to+∞}\int_x^{x^2}f(t)dt=0\).

 
 

6. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction impaire \(f\) est paire.

 
 

7. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction paire \(f\) est impaire.

 
 

8. Si \(f\) est continue et vérifie \(\displaystyle\Bigl|\int_a^bf(t)dt\Bigr|=\int_a^b|f(t)|dt\) alors \(f\) est de signe constant.

 
 

9. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac{\sin t}t\) est intégrable sur \(]0,+∞[\).

 
 

10. La somme de deux fonctions intégrables sur \(\Bbb R\) est intégrable sur \(\Bbb R\).

 
 

11. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{t\ln t}\) est intégrable sur \([2,+∞[\).

 
 

12. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction \(f\) \(T\)-périodique est elle-même \(T\)-périodique.

 
 

13. Si une fonction continue sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, elle tend vers 0 en \(+∞\).

 
 

14. Si une fonction continue est intégrable sur \(\Bbb R_+\), elle est bornée.

 
 

15. Si \(f\) est continue sur \([0,1]\) alors \(\displaystyle\lim\frac1n\sum_{k=0}^{n}f\Bigl(\frac kn\Bigr)=\int_0^1f(t)dt\).

 
 

16. Si \(f\) est continue et positive sur \(\Bbb R_+\), la série \(\displaystyle \sum f(n)\) converge si et seulement si l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+∞}f(t)dt\) converge.

 
 

17. Une fonction \(f\) est intégrable sur \(\Bbb R\) si et seulement si elle est intégrable sur tout segment de \(\Bbb R\).

 
 

18. La fonction \(t\mapsto\ln t\) est intégrable sur \(]0,1]\).

 
 

19. Si une fonction continue et intégrable sur \(\Bbb R_+\) possède une limite en \(+∞\), celle-ci est nulle.

 
 

20. Si une fonction continue et monotone sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, elle tend vers 0 en \(+∞\).

 
 

21. Si la fonction \(f\) est continue sur \(]0,1]\) et admet une limite finie en 0 alors \(f\) est intégrable.

 
 

22. Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) alors \(\displaystyle\lim\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(k\frac{b-a}n\Bigr)=\int_a^bf(t)dt\).