Quiz espaces vectoriels Quiz espaces vectoriels 1. Si \(\text{Im}(p)=\text{Ker}(\text{Id}-p)\) alors \(p\) est une projection vectorielle. Vrai Faux On a \(\text{Im} p\subset\text{Ker}(Id-p)\) donc \((Id-p)\circ p=0\), soit \(p\circ p=p\). 2. Si \((u,v)\in{\cal L}(E,F)^2\), \(\text{Im}(u+v)=\text{Im}\ u+\text{Im}\ v\) et \(\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}\ u+\text{Ker}\ v\). Vrai Faux En général on a seulement les inclusions \(\text{Im}(u+v)\subset\text{Im}\ u+\text{Im}\ v\), et \(\text{Ker}\ u+\text{Ker}\ v\subset\text{Ker}(u+v)\). 3. Soient \(H_1\), \(H_2\) et \(H_3\) trois sous-espaces vectoriels de \(E\). On considère les propositions suivantes : \(H_1\cap H_2=\{0_E\}\), \(H_2\cap H_3=\{0_E\}\) et \(H_3\cap H_1=\{0_E\}\) ; \(H_1\cap H_2\cap H_3=\{0_E\}\). Pour que la somme \(H_1+H_2+H_3\) soit directe il suffit de vérifier que : la condition 1 est satisfaite. la condition 2 est satisfaite. les conditions 1 et 2 sont satisfaites. aucune des trois propositions ci-dessus n’est suffisante. Il suffit de vérifier que \(H_1\cap H_2=\{0_E\}\) puis que \((H_1+H_2)\cap H_3=\{0_E\}\). 4. La réunion de deux sous-espaces vectoriels est toujours un sous-espace vectoriel. Vrai Faux Ce n’est un sous-espace vectoriel que dans le cas trivial où l’un est inclus dans l’autre. 5. \({\cal GL}(E)\) est un sous-espace vectoriel de \({\cal L}(E)\). Vrai Faux La somme de deux endomorphismes inversibles peut ne pas être inversible. 6. Soient \(H_1\) et \(H_2\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\), tels que \(H_1+H_2=H_1\). Alors \(H_1=H_2\). Vrai Faux On a seulement \(H_2\subset H_1\). 7. Si \(p\) est une projection, \(-p\) aussi. Vrai Faux \((-p)\circ(-p)=p\circ p=p\ne-p\) en général. 8. Si \((e_1,\ldots,e_n)\) est une famille libre et \(x\in E\), la famille \((e_1+x,\ldots,e_n+x)\) est libre. Vrai Faux Si on prend \(x=-e_1\), la seconde famille contient le vecteur nul donc est liée. 9. Soient \(H_1\), \(H_2\) et \(H_3\) trois sous-espaces vectoriels de \(E\). On a \(H_1+H_2\subset H_3\) si et seulement si \(H_1\subset H_3\) et \(H_2\subset H_3\). Vrai Faux \(H_1+H_2\) est le plus petit sous-espace vectoriel (au sens de l’inclusion) qui contienne \(H_1\) et \(H_2\). 10. Soient \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\). Alors \(\text{Vect}(A\cup B)=\text{Vect}(A)+\text{Vect}(B)\). Vrai Faux \(\text{Vect}(A\cup B)\) est le plus petit sous-espace vectoriel qui contienne \(A\cup B\). \(\text{Vect}(A)+\text{Vect}(B)\) est le plus petit sous-espace vectoriel qui contienne \(A\) et \(B\). 11. Si \(u\in{\cal L}(E,F)\) alors \(\text{Im}\ u\) est isomorphe à tout supplémentaire de \(\text{Ker}\ u\). Vrai Faux C’est le théorème dont découle le théorème du rang. 12. \(p\) est un projecteur si et seulement si \(\text{Id}-p\) est un projecteur. Vrai Faux Si \(p\) est la projection sur \(H_1\) parallèlement à \(H_2\), alors \(\text{Id}-p\) est la projection sur \(H_2\) parallèlement à \(H_1\). 13. Si \(u\in{\cal L}(E,F)\) alors \(\text{Ker}\ u\) est isomorphe à tout supplémentaire de \(\text{Im}\ u\). Vrai Faux L’énoncé correct est : \(\text{Im}\ u\) est isomorphe à tout supplémentaire de \(\text{Ker}\ u\). 14. Soit \((e_1,\ldots,e_n)\) une famille de vecteurs de \(E\). Pour qu’elle soit libre, il faut et il suffit que la famille \((e_1,\ldots,e_{n-1})\) soit libre et \(e_n\notin\text{Vect}(e_1,\ldots,e_{n-1})\). Vrai Faux Cette propriété est très utile pour prouver par récurrence la liberté d’une famille de vecteurs. 15. L’ensemble des suites bornées est un sous-espace vectoriel de \(\Bbb{R}^{\Bbb{N}}\). Vrai Faux Si \(|u_n|\leq A\) et \(|v_n|\leq B\) alors \(|\lambda u_n+v_n|\leq |\lambda A|+|B|\). 16. L’intersection d’un nombre fini ou infini de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. Vrai Faux Si \((H_i)_{i\in I}\) est une famille de sous-espaces vectoriels et \(H=\bigcap_{i\in I}H_i\) alors pour tout \(i\in I\), \(0_E\in H_i\) donc \(0_E\in H\) ; si \((x,y)\in H^2\) et \(\lambda\in\Bbb R\) alors pour tout \(i\in I\), \(\lambda x+y\in H_i\) donc \(\lambda x+y\in H\). 17. L’ensemble des suites périodiques est un sous-espace vectoriel de \(\Bbb{R}^{\Bbb{N}}\). Vrai Faux Si \((u_n)\) est périodique de période \(p\) et \((v_n)\) périodique de période \(q\), \((\lambda u_n+v_n)\) est périodique de période \(pq\). 18. Soit \((u,v)\in{\cal L}(E)^2\) tel que \(u\circ v=0\). Alors \(u=0\) ou \(v=0\). Vrai Faux Si \(p\) est une projection on a \(p\circ(\text{Id}-p)=0\). 19. L’ensemble des suites monotones est un sous-espace vectoriel de \(\Bbb{R}^{\Bbb{N}}\). Vrai Faux La somme d’une suite croissante et d’une suite décroissante n’est pas forcément monotone. Par exemple, \(u_n=2n+(-1)^n\) est croissante et \(v_n=-2n\) décroissante alors que \(u_n+v_n=(-1)^n\) n’est pas monotone. 20. Si \(E_1\) et \(E_2\) sont deux sous-espaces supplémentaires de \(E\) et \(H\) un sous-espace vectoriel de \(E\) alors \(E_1\cap H\) et \(E_2\cap H\) sont deux sous-espaces supplémentaires dans \(H\). Vrai Faux Supposons \(\text{dim}\ E=2\), \(E_1=\text{Vect}(e_1)\), \(E_2=\text{Vect}(e_2)\) et \(H=\text{Vect}(e_1+e_2)\). Alors \(H\cap E_1=H\cap E_2=\{0_E\}\). 21. Si \(s\) est une symétrie, alors \(-s\) aussi. Vrai Faux \((-s)\circ(-s)=s\circ s=\text{Id}\). 22. Soient \(H_1\) et \(H_2\) sont deux sous-espaces vectoriels de \(E\), tels que \(H_1+H_2=H_1\cap H_2\). Alors \(H_1=H_2\). Vrai Faux On a toujours \(H_1\cap H_2\subset H_1+H_2\), et l’inclusion réciproque est vraie si et seulement si \(H_1\subset H_1\cap H_2\) et \(H_2\subset H_1\cap H_2\), soit \(H_1=H_2\). 23. Soit \(A\) une partie de \(E\) et \(u\in{\cal L}(E)\). Alors \(u(\text{Vect}\ A)\subset\text{Vect}\ u(A)\). Vrai Faux \(A\subset\text{Vect}\ A\) donc \(u(A)\subset u(\text{Vect}\ A)\), puis \(\text{Vect}\ u(A)\subset u(\text{Vect}\ A)\). Réciproquement, si \(x\in\text{Vect}\ A\) alors \(u(x)\in\text{Vect}\ u(A)\) par linéarité de \(u\) et ainsi, \(u(\text{Vect}\ A)\subset\text{Vect}\ u(A)\). 24. Si \(p\) est un projecteur, \(p-2\text{Id}\) est une symétrie. Vrai Faux C’est \(2p-\text{Id}\) qui est une symétrie. 25. Si \(u\in{\cal L}(E)\) alors \(\text{Im}\ u\) et \(\text{Ker}\ u\) sont supplémentaires. Vrai Faux En dimension finie on peut seulement affirmer que \(\text{dim}(\text{Ker}\ u)+\text{dim}(\text{Im}\ u)=\text{dim} E\). 26. Une famille de vecteurs deux-à-deux non colinéaires est libre. Vrai Faux La condition est nécessaire mais pas suffisante. 27. Soient \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\). Alors \(\text{Vect}(A\cap B)=\text{Vect}(A)\cap\text{Vect}(B)\). Vrai Faux Si \(u\ne 0_E\), \(A=\{u\}\) et \(B=\{-u\}\) alors \(\text{Vect}(A)=\text{Vect}(B)=\text{Vect}(u)\) alors que \(\text{Vect}(A\cap B)=\{0_E\}\). 28. Si \((u,v)\in{\cal L}(E)^2\), alors \(u\circ v=0\) si et seulement si \(\text{Im}\ v\subset\text{Ker}\ u\). Vrai Faux \(u\circ v=0\) si et seulement si pour tout \(x\in E\), \(u(v(x))=0_E\), soit \(v(x)\in\text{Ker}\ u\). 29. L’application \(P\mapsto\frac12\bigl(P(X)+P(-X)\bigr)\) est la projection vectorielle sur l’espace des polynômes impairs, parallèlement à l’espace des polynômes pairs. Vrai Faux C’est la projection sur l’espace des polynômes pairs, parallèlement à l’espace des polynômes impairs. Chargement …
