Quiz espaces euclidiens

Quiz espaces euclidiens

1. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(AB^T)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\).

 
 

2. L’application \((X,Y)\mapsto XY^T\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,1}({\Bbb R})\).

 
 

3. Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs d’un espace euclidien. Alors \(x\) et \(y\) sont orthogonaux si et seulement si \(\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2\).

 
 

4. Tout produit scalaire sur \({\Bbb R}[X]\) possède une base orthonormée échelonnée en degré.

 
 

5. Si \(H_1\) et \(H_2\) sont deux sous-espaces vectoriels d’un même espace euclidien, on a \(H_1\subset H_2\) si et seulement si \(H_1^\perp\subset H_2^\perp\).

 
 

6. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(A^TB)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\).

 
 

7. Une isométrie vectorielle d’un espace euclidien est nécessairement bijective.

 
 

8. Un endomorphisme est orthogonal si et seulement s’il transforme toute famille orthogonale en une famille orthogonale.

 
 

9. La projection orthogonale \(p(x)\) de \(x\) sur un sous-espace vectoriel quelconque \(H\) est caractérisé par les deux conditions :

  • \(p(x)\in H\) ;
  • \(x-p(x)\in H^\perp\).
 
 

10. Toute matrice symétrique est diagonalisable.

 
 

11. La composition de deux endomorphismes symétriques est un endomorphisme symétrique.

 
 

12. Les isométries du plan euclidien sont les rotations.

 
 

13. Dans un espace euclidien toute famille orthogonale est libre.