Quiz espaces euclidiens

Quiz espaces euclidiens

1. Une isométrie vectorielle d’un espace euclidien est nécessairement bijective.

 
 

2. Les isométries du plan euclidien sont les rotations.

 
 

3. Toute matrice symétrique est diagonalisable.

 
 

4. L’application \((X,Y)\mapsto XY^T\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,1}({\Bbb R})\).

 
 

5. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(A^TB)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\).

 
 

6. Tout produit scalaire sur \({\Bbb R}[X]\) possède une base orthonormée échelonnée en degré.

 
 

7. Dans un espace euclidien toute famille orthogonale est libre.

 
 

8. Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs d’un espace euclidien. Alors \(x\) et \(y\) sont orthogonaux si et seulement si \(\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2\).

 
 

9. La composition de deux endomorphismes symétriques est un endomorphisme symétrique.

 
 

10. La projection orthogonale \(p(x)\) de \(x\) sur un sous-espace vectoriel quelconque \(H\) est caractérisé par les deux conditions :

  • \(p(x)\in H\) ;
  • \(x-p(x)\in H^\perp\).
 
 

11. Si \(H_1\) et \(H_2\) sont deux sous-espaces vectoriels d’un même espace euclidien, on a \(H_1\subset H_2\) si et seulement si \(H_1^\perp\subset H_2^\perp\).

 
 

12. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(AB^T)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\).

 
 

13. Un endomorphisme est orthogonal si et seulement s’il transforme toute famille orthogonale en une famille orthogonale.