Quiz espaces euclidiens

Quiz espaces euclidiens

1. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(AB^T)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\).

 
 

2. Les isométries du plan euclidien sont les rotations.

 
 

3. L’application \((X,Y)\mapsto XY^T\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,1}({\Bbb R})\).

 
 

4. Si \(H_1\) et \(H_2\) sont deux sous-espaces vectoriels d’un même espace euclidien, on a \(H_1\subset H_2\) si et seulement si \(H_1^\perp\subset H_2^\perp\).

 
 

5. Une isométrie vectorielle d’un espace euclidien est nécessairement bijective.

 
 

6. Tout produit scalaire sur \({\Bbb R}[X]\) possède une base orthonormée échelonnée en degré.

 
 

7. Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs d’un espace euclidien. Alors \(x\) et \(y\) sont orthogonaux si et seulement si \(\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2\).

 
 

8. Un endomorphisme est orthogonal si et seulement s’il transforme toute famille orthogonale en une famille orthogonale.

 
 

9. Dans un espace euclidien toute famille orthogonale est libre.

 
 

10. La composition de deux endomorphismes symétriques est un endomorphisme symétrique.

 
 

11. Toute matrice symétrique est diagonalisable.

 
 

12. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(A^TB)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\).

 
 

13. La projection orthogonale \(p(x)\) de \(x\) sur un sous-espace vectoriel quelconque \(H\) est caractérisé par les deux conditions :

  • \(p(x)\in H\) ;
  • \(x-p(x)\in H^\perp\).