Quiz espaces euclidiens

Quiz espaces euclidiens

1. L’application \((X,Y)\mapsto XY^T\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,1}({\Bbb R})\).

 
 

2. Un endomorphisme est orthogonal si et seulement s’il transforme toute famille orthogonale en une famille orthogonale.

 
 

3. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(A^TB)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\).

 
 

4. Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs d’un espace euclidien. Alors \(x\) et \(y\) sont orthogonaux si et seulement si \(\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2\).

 
 

5. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(AB^T)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\).

 
 

6. Une isométrie vectorielle d’un espace euclidien est nécessairement bijective.

 
 

7. La composition de deux endomorphismes symétriques est un endomorphisme symétrique.

 
 

8. Toute matrice symétrique est diagonalisable.

 
 

9. Dans un espace euclidien toute famille orthogonale est libre.

 
 

10. La projection orthogonale \(p(x)\) de \(x\) sur un sous-espace vectoriel quelconque \(H\) est caractérisé par les deux conditions :

  • \(p(x)\in H\) ;
  • \(x-p(x)\in H^\perp\).
 
 

11. Les isométries du plan euclidien sont les rotations.

 
 

12. Si \(H_1\) et \(H_2\) sont deux sous-espaces vectoriels d’un même espace euclidien, on a \(H_1\subset H_2\) si et seulement si \(H_1^\perp\subset H_2^\perp\).

 
 

13. Tout produit scalaire sur \({\Bbb R}[X]\) possède une base orthonormée échelonnée en degré.