Quiz espaces euclidiens

Quiz espaces euclidiens

1. Dans un espace euclidien toute famille orthogonale est libre.

 
 

2. L’application \((X,Y)\mapsto XY^T\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,1}({\Bbb R})\).

 
 

3. Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs d’un espace euclidien. Alors \(x\) et \(y\) sont orthogonaux si et seulement si \(\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2\).

 
 

4. La projection orthogonale \(p(x)\) de \(x\) sur un sous-espace vectoriel quelconque \(H\) est caractérisé par les deux conditions :

  • \(p(x)\in H\) ;
  • \(x-p(x)\in H^\perp\).
 
 

5. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(AB^T)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\).

 
 

6. Toute matrice symétrique est diagonalisable.

 
 

7. Les isométries du plan euclidien sont les rotations.

 
 

8. Si \(H_1\) et \(H_2\) sont deux sous-espaces vectoriels d’un même espace euclidien, on a \(H_1\subset H_2\) si et seulement si \(H_1^\perp\subset H_2^\perp\).

 
 

9. Un endomorphisme est orthogonal si et seulement s’il transforme toute famille orthogonale en une famille orthogonale.

 
 

10. Une isométrie vectorielle d’un espace euclidien est nécessairement bijective.

 
 

11. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(A^TB)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\).

 
 

12. La composition de deux endomorphismes symétriques est un endomorphisme symétrique.

 
 

13. Tout produit scalaire sur \({\Bbb R}[X]\) possède une base orthonormée échelonnée en degré.