Quiz calcul matriciel

1. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

2. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

3. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

4. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

5. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

6. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

7. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

8. Deux matrices semblables ont même déterminant.

9. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

10. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

11. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

12. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

13. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

14. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

15. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

16. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

17. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

18. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

19. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

20. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

21. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

22. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

23. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

24. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

25. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

26. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

27. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

28. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

29. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).