Quiz calcul matriciel

1. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

2. Deux matrices semblables ont même déterminant.

3. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

4. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

5. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

6. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

7. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

8. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

9. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

10. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

11. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

12. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

13. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

14. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

15. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

16. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

17. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

18. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

19. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

20. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

21. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

22. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

23. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

24. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

25. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

26. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

27. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

28. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

29. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).