Quiz calcul matriciel

1. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

2. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

3. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

4. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

5. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

6. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

7. Deux matrices semblables ont même déterminant.

8. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

9. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

10. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

11. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

12. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

13. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

14. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

15. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

16. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

17. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

18. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

19. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

20. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

21. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

22. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

23. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

24. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

25. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

26. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

27. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

28. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

29. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).