Quiz calcul matriciel

1. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

2. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

3. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

4. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

5. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

6. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

7. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

8. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

9. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

10. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

11. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

12. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

13. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

14. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

15. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

16. Deux matrices semblables ont même déterminant.

17. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

18. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

19. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

20. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

21. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

22. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

23. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

24. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

25. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

26. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

27. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

28. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

29. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).