Quiz calcul matriciel

1. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

2. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

3. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

4. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

5. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

6. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

7. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

8. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

9. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

10. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

11. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

12. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

13. Deux matrices semblables ont même déterminant.

14. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

15. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

16. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

17. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

18. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

19. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

20. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

21. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

22. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

23. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

24. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

25. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

26. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

27. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

28. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

29. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).