Quiz calcul matriciel

Quiz calcul matriciel

1. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

 
 

2. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

 
 

3. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

 
 

4. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

 
 

5. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

 
 

6. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

 
 

7. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

 
 

8. On considère les deux propriétés suivantes :

  1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
  2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.
 
 
 
 

9. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

 
 

10. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

 
 

11. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

 
 

12. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

 
 

13. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

 
 

14. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

 
 

15. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

 
 

16. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

 
 

17. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

 
 

18. Deux matrices semblables ont même déterminant.

 
 

19. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

 
 

20. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

 
 

21. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

 
 

22. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

 
 

23. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

 
 

24. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

 
 

25. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

 
 

26. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

 
 

27. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

 
 

28. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

 
 

29. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).