Quiz calcul matriciel

Quiz calcul matriciel

1. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

 
 

2. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

 
 

3. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

 
 

4. Deux matrices semblables ont même déterminant.

 
 

5. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

 
 

6. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

 
 

7. On considère les deux propriétés suivantes :

  1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
  2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.
 
 
 
 

8. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

 
 

9. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

 
 

10. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

 
 

11. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

 
 

12. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

 
 

13. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

 
 

14. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

 
 

15. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

 
 

16. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

 
 

17. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

 
 

18. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

 
 

19. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

 
 

20. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

 
 

21. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

 
 

22. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

 
 

23. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

 
 

24. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

 
 

25. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

 
 

26. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

 
 

27. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

 
 

28. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

 
 

29. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.