Quiz calcul matriciel

1. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

2. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

3. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

4. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

5. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

6. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

7. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

8. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

9. Deux matrices semblables ont même déterminant.

10. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

11. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

12. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

13. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

14. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

15. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

16. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

17. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

18. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

19. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

20. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

21. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

22. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

23. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

24. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

25. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

26. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

27. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

28. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

29. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.