Quiz calcul matriciel Quiz calcul matriciel 1. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\). Vrai Faux En général on a ni \(\text{det}(A+B)=\text{det}(A)+\text{det}(B)\), ni \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\). 2. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\). Vrai Faux La valeur correcte est \(\frac{n(n+1)}2\). Sa base canonique est constituée des matrices \(E_{ii}\), \((1 ≤ i ≤ n)\) et \(E_{ij}+E_{ji}\), \((1 ≤ i < j ≤ n)\). 3. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles. Vrai Faux Il suffit de prendre une base adaptée à \(\text{Im}(A)\). 4. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\). Vrai Faux En dimension 2, si \(\text{Mat}_{(e)}(u)=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)=\begin{pmatrix}d&c\\ b&a\end{pmatrix}\). 5. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire. Vrai Faux En revanche, le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure ; le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieure. 6. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\). Vrai Faux Cela n’est vrai que si \(B\) ou \(C\) est la matrice nulle. 7. Deux matrices semblables ont même déterminant. Vrai Faux \(\text{det}(P^{-1}AP)=\text{det}(P^{-1}(AP))=\text{det}((AP)P^{-1})=\text{det}(A)\). 8. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux. Vrai Faux 9. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\). Vrai Faux Il vaut \(\displaystyle\prod_{i < j}(x_j-x_i)\). 10. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\). Vrai Faux Au contraire, on a \(\text{rg}(AB)≤\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\). 11. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles. Vrai Faux Il suffit de prendre une base adaptée à \(\text{Ker}(A)\). 12. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente. Vrai Faux L’endomorphisme associé vérifie \(u(e_i)\in\text{Vect}(e_1,\ldots,e_{i-1})\) pour tout \(i\in\{1.\ldots,n\}\) donc \(u^k(e_i)\in\text{Vect}(e_1,\ldots,e_{i-k})\) et \(u^n(e_i)=0\). 13. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\). Vrai Faux On a \(\text{det}(\lambda A)=\lambda^n\text{det}(A)\). 14. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\). Vrai Faux Seules les matrices d’homothétie \(\lambda I_n\) ont cette propriété. 15. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux. Vrai Faux 16. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale. Vrai Faux La matrice \(\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) n’est pas de rang nul. 17. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\). Vrai Faux \(\text{Im}(\text{tr})\) est de dimension 1 donc d’après le théorème du rang, \(\text{Ker}(\text{tr})\) est de dimension \(n^2-1\). 18. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\). Vrai Faux \(E_{ij}E_{kl}=\delta_{j,k}E_{il}\) donc \(E_{ij}E_{kl}\) est égal à \(E_{il}\) si \(j=k\) et à \(0\) sinon. 19. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang. Vrai Faux Le rang est aussi bien le nombres de lignes linéairement indépendantes que le nombre de colonnes linéairement indépendantes. 20. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables. Vrai Faux Si \(A=\text{Mat}_{(e_1,e_2)}(u)\) alors \(B=\text{Mat}_{(e_2,e_1)}(u)\). 21. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\). Vrai Faux Un endomorphisme est inversible si et seulement si il est surjectif. 22. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\). Vrai Faux La somme de deux matrices non inversibles peut être inversible : \(\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\). 23. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale. Vrai Faux Les colonnes dans lesquelles se trouvent ces coefficients non nuls sont linéairement indépendantes. 24. On considère les deux propriétés suivantes : les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ; les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang et même trace. Les deux propriétés sont équivalentes La propriété (1) implique la propriété (2) La propriété (2) implique la propriété (1) Aucune des trois affirmations ci-dessus n’est exacte. Il n’existe pas de caractérisation simple de la relation de similitude entre deux matrices. 25. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\). Vrai Faux Il faut en plus que \(P\) soit inversible. 26. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\). Vrai Faux On a \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)\) mais pas \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\). 27. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\). Vrai Faux \(\text{det}(AB)=\text{det}(A)\text{det}(B)=\text{det}(BA)\). 28. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale. Vrai Faux Les colonnes dans lesquelles se trouvent les coefficients non nuls sont linéairement indépendantes. 29. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\). Vrai Faux Sa base canonique est formée des matrices \(E_{ij}\), \((1 ≤ i ≤ j ≤ n)\). Chargement …