Quiz calcul matriciel

1. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

2. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

3. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

4. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

5. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

6. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

7. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

8. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

9. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

10. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

11. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

12. Deux matrices semblables ont même déterminant.

13. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

14. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

15. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

16. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

17. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

18. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

19. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

20. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

21. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

22. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

23. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

24. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

25. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

26. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

27. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

28. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

29. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.