Quiz calcul matriciel

1. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

2. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

3. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

4. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

5. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

6. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

7. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

8. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

9. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

10. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

11. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

12. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

13. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

14. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

15. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

16. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

17. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

18. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

19. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

20. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

21. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

22. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

23. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

24. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

25. Deux matrices semblables ont même déterminant.

26. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

27. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

28. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

29. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.