Quiz calcul matriciel

Quiz calcul matriciel

1. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

 
 

2. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

 
 

3. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

 
 

4. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

 
 

5. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

 
 

6. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

 
 

7. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

 
 

8. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

 
 

9. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

 
 

10. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

 
 

11. Deux matrices semblables ont même déterminant.

 
 

12. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

 
 

13. On considère les deux propriétés suivantes :

  1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
  2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.
 
 
 
 

14. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

 
 

15. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

 
 

16. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

 
 

17. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

 
 

18. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

 
 

19. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

 
 

20. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

 
 

21. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

 
 

22. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

 
 

23. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

 
 

24. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

 
 

25. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

 
 

26. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

 
 

27. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

 
 

28. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

 
 

29. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).