Quiz calcul matriciel

1. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

2. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

3. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

4. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

5. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

6. Deux matrices semblables ont même déterminant.

7. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

8. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

9. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

10. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

11. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

12. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

13. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

14. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

15. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

16. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

17. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

18. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

19. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

20. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

21. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

22. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

23. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

24. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

25. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

26. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

27. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

28. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

29. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).