Quiz calcul matriciel

Quiz calcul matriciel

1. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

 
 

2. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

 
 

3. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

 
 

4. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

 
 

5. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

 
 

6. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

 
 

7. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

 
 

8. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

 
 

9. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

 
 

10. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

 
 

11. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

 
 

12. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

 
 

13. Deux matrices semblables ont même déterminant.

 
 

14. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

 
 

15. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

 
 

16. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

 
 

17. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

 
 

18. On considère les deux propriétés suivantes :

  1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
  2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.
 
 
 
 

19. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

 
 

20. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

 
 

21. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

 
 

22. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

 
 

23. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

 
 

24. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

 
 

25. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

 
 

26. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

 
 

27. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

 
 

28. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

 
 

29. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).