Quiz calcul matriciel

1. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

2. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

3. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

4. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

5. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

6. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

7. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

8. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

9. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

10. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

11. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

12. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

13. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

14. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

15. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

16. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

17. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

18. Deux matrices semblables ont même déterminant.

19. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

20. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

21. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

22. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

23. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

24. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

25. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

26. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

27. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

28. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

29. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).