Quiz calcul matriciel

1. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

2. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

3. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

4. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

5. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

6. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

7. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

8. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

9. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

10. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

11. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

12. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

13. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

14. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

15. Deux matrices semblables ont même déterminant.

16. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

17. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

18. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

19. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

20. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

21. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

22. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

23. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

24. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

25. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

26. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

27. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

28. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

29. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).