Quiz calcul matriciel

1. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

2. Deux matrices semblables ont même déterminant.

3. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

4. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

5. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

6. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

7. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

8. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

9. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

10. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

11. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

12. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

13. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

14. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

15. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

16. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

17. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

18. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

19. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

20. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

21. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

22. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

23. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

24. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

25. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

26. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

27. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

28. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

29. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).