Quiz calcul matriciel

1. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

2. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

3. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

4. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

5. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

6. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

7. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

8. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

9. Deux matrices semblables ont même déterminant.

10. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

11. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

12. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

13. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

14. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

15. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

16. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

17. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

18. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

19. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

20. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

21. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

22. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

23. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

24. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

25. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

26. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

27. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

28. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

29. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.