Quiz calcul matriciel

1. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

2. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

3. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

4. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

5. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

6. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

7. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

8. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

9. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

10. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

11. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

12. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

13. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

14. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

15. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

16. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

17. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

18. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

19. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

20. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

21. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

22. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

23. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

24. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

25. Deux matrices semblables ont même déterminant.

26. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

27. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

28. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

29. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.