Quiz calcul matriciel

1. Deux matrices semblables ont même déterminant.

2. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

3. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

4. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

5. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

6. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

7. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

8. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

9. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

10. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

11. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

12. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

13. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

14. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

15. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

16. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

17. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

18. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

19. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

20. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

21. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

22. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

23. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

24. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

25. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

26. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

27. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

28. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

29. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.