Quiz calcul matriciel

1. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

2. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

3. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

4. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

5. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

6. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

7. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

8. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

9. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

10. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

11. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

12. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

13. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

14. Deux matrices semblables ont même déterminant.

15. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

16. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

17. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

18. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

19. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

20. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

21. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

22. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

23. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

24. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

25. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

26. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

27. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

28. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

29. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).