Quiz calcul matriciel

1. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

2. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

3. Deux matrices semblables ont même déterminant.

4. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

5. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

6. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

7. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

8. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

9. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

10. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

11. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

12. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

13. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

14. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

15. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

16. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

17. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

18. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

19. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

20. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

21. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

22. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

23. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

24. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

25. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

26. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

27. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

28. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

29. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).