Quiz calcul matriciel

1. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

2. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

3. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

4. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

5. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

6. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

7. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

8. Deux matrices semblables ont même déterminant.

9. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

10. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

11. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

12. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

13. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

14. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

15. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

16. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

17. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

18. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

19. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

20. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

21. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

22. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

23. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

24. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

25. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

26. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

27. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

28. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

29. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.