Quiz calcul matriciel Quiz calcul matriciel 1. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\). Vrai Faux On a \(\text{det}(\lambda A)=\lambda^n\text{det}(A)\). 2. Deux matrices semblables ont même déterminant. Vrai Faux \(\text{det}(P^{-1}AP)=\text{det}(P^{-1}(AP))=\text{det}((AP)P^{-1})=\text{det}(A)\). 3. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\). Vrai Faux Il faut en plus que \(P\) soit inversible. 4. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\). Vrai Faux Seules les matrices d’homothétie \(\lambda I_n\) ont cette propriété. 5. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente. Vrai Faux L’endomorphisme associé vérifie \(u(e_i)\in\text{Vect}(e_1,\ldots,e_{i-1})\) pour tout \(i\in\{1.\ldots,n\}\) donc \(u^k(e_i)\in\text{Vect}(e_1,\ldots,e_{i-k})\) et \(u^n(e_i)=0\). 6. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire. Vrai Faux En revanche, le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure ; le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieure. 7. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles. Vrai Faux Il suffit de prendre une base adaptée à \(\text{Ker}(A)\). 8. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux. Vrai Faux 9. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles. Vrai Faux Il suffit de prendre une base adaptée à \(\text{Im}(A)\). 10. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\). Vrai Faux \(E_{ij}E_{kl}=\delta_{j,k}E_{il}\) donc \(E_{ij}E_{kl}\) est égal à \(E_{il}\) si \(j=k\) et à \(0\) sinon. 11. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang. Vrai Faux Le rang est aussi bien le nombres de lignes linéairement indépendantes que le nombre de colonnes linéairement indépendantes. 12. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\). Vrai Faux Sa base canonique est formée des matrices \(E_{ij}\), \((1 ≤ i ≤ j ≤ n)\). 13. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\). Vrai Faux En général on a ni \(\text{det}(A+B)=\text{det}(A)+\text{det}(B)\), ni \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\). 14. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\). Vrai Faux Cela n’est vrai que si \(B\) ou \(C\) est la matrice nulle. 15. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\). Vrai Faux En dimension 2, si \(\text{Mat}_{(e)}(u)=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)=\begin{pmatrix}d&c\\ b&a\end{pmatrix}\). 16. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\). Vrai Faux La valeur correcte est \(\frac{n(n+1)}2\). Sa base canonique est constituée des matrices \(E_{ii}\), \((1 ≤ i ≤ n)\) et \(E_{ij}+E_{ji}\), \((1 ≤ i < j ≤ n)\). 17. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\). Vrai Faux \(\text{Im}(\text{tr})\) est de dimension 1 donc d’après le théorème du rang, \(\text{Ker}(\text{tr})\) est de dimension \(n^2-1\). 18. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\). Vrai Faux On a \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)\) mais pas \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\). 19. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale. Vrai Faux La matrice \(\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) n’est pas de rang nul. 20. On considère les deux propriétés suivantes : les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ; les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang et même trace. Les deux propriétés sont équivalentes La propriété (1) implique la propriété (2) La propriété (2) implique la propriété (1) Aucune des trois affirmations ci-dessus n’est exacte. Il n’existe pas de caractérisation simple de la relation de similitude entre deux matrices. 21. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables. Vrai Faux Si \(A=\text{Mat}_{(e_1,e_2)}(u)\) alors \(B=\text{Mat}_{(e_2,e_1)}(u)\). 22. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux. Vrai Faux 23. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale. Vrai Faux Les colonnes dans lesquelles se trouvent les coefficients non nuls sont linéairement indépendantes. 24. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\). Vrai Faux Il vaut \(\displaystyle\prod_{i < j}(x_j-x_i)\). 25. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\). Vrai Faux \(\text{det}(AB)=\text{det}(A)\text{det}(B)=\text{det}(BA)\). 26. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\). Vrai Faux Un endomorphisme est inversible si et seulement si il est surjectif. 27. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\). Vrai Faux La somme de deux matrices non inversibles peut être inversible : \(\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\). 28. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale. Vrai Faux Les colonnes dans lesquelles se trouvent ces coefficients non nuls sont linéairement indépendantes. 29. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\). Vrai Faux Au contraire, on a \(\text{rg}(AB)≤\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\). Chargement …