Quiz calcul matriciel

1. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

2. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

3. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

4. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

5. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

6. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

7. Deux matrices semblables ont même déterminant.

8. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

9. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

10. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

11. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

12. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

13. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

14. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

15. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

16. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

17. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

18. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

19. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

20. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

21. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

22. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

23. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

24. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

25. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

26. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

27. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

28. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

29. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).