Quiz calcul matriciel

1. Deux matrices semblables ont même déterminant.

2. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

3. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

4. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

5. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

6. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

7. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

8. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

9. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

10. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

11. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

12. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

13. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

14. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

15. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

16. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

17. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

18. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

19. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

20. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

21. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

22. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

23. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

24. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

25. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

26. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

27. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

28. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

29. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).