Quiz calcul matriciel

1. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

2. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

3. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

4. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

5. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

6. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

7. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

8. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

9. Deux matrices semblables ont même déterminant.

10. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

11. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

12. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

13. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

14. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

15. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

16. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

17. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

18. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

19. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

20. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

21. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

22. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

23. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

24. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

25. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

26. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

27. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

28. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

29. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.