Quiz calcul matriciel

1. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

2. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

3. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

4. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

5. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

6. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

7. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

8. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

9. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

10. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

11. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

12. Deux matrices semblables ont même déterminant.

13. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

14. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

15. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

16. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

17. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

18. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

19. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

20. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

21. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

22. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

23. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

24. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

25. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

26. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

27. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

28. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

29. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).