Quiz espaces euclidiens Quiz espaces euclidiens 1. Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs d’un espace euclidien. Alors \(x\) et \(y\) sont orthogonaux si et seulement si \(\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2\). Vrai Faux On a \(\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\langle x\mid y\rangle+\|y\|^2\). 2. Dans un espace euclidien toute famille orthogonale est libre. Vrai Faux Il faut supposer en plus ces vecteurs non nuls. 3. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(A^TB)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\). Vrai Faux C’est le produit scalaire canonique de \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\). 4. Un endomorphisme est orthogonal si et seulement s’il transforme toute famille orthogonale en une famille orthogonale. Vrai Faux Un endomorphisme est orthogonal si et seulement s’il transforme toute famille orthonormale en une famille orthonormale. (Rappelons qu’«endomorphisme orthogonal» est un terme équivalent à «isométrie vectorielle»). 5. Une isométrie vectorielle d’un espace euclidien est nécessairement bijective. Vrai Faux Une isométrie vectorielle \(u\) préserve la norme, donc \(u(x)=0_E\iff \|u(x)\|=0\iff \|x\|=0\iff x=0_E\). 6. La composition de deux endomorphismes symétriques est un endomorphisme symétrique. Vrai Faux Si \(A\) et \(B\) sont deux matrices symétriques, il n’en est pas nécessairement de même de \(AB\) lorsque \(A\) et \(B\) ne commutent pas. 7. L’application \((X,Y)\mapsto XY^T\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,1}({\Bbb R})\). Vrai Faux \(XY^T\) n’est pas un scalaire, c’est un élément de \(\text{Mat}_n({\Bbb R})\). En revanche, \((X,Y)\mapsto X^TY\) est le produit scalaire canonique de \(\text{Mat}_{n,1}({\Bbb R})\). 8. Tout produit scalaire sur \({\Bbb R}[X]\) possède une base orthonormée échelonnée en degré. Vrai Faux On peut en obtenir une en appliquant le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique. 9. Les isométries du plan euclidien sont les rotations. Vrai Faux Les isométries directes sont les rotations, les isométries indirectes sont les symétries orthogonales par rapport aux droites. 10. Toute matrice symétrique est diagonalisable. Vrai Faux Ce n’est vrai que pour les matrices symétriques réelles. 11. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(AB^T)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\). Vrai Faux On a \(\text{Tr}(AB^T)=\text{Tr}(B^TA)\) donc il s’agit du produit scalaire canonique sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\). 12. La projection orthogonale \(p(x)\) de \(x\) sur un sous-espace vectoriel quelconque \(H\) est caractérisé par les deux conditions : \(p(x)\in H\) ; \(x-p(x)\in H^\perp\). Vrai Faux Ceci n’est vrai que lorsque \(H\) est de dimension finie. Dans le cas général il n’est pas toujours possible de définir la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension infinie. 13. Si \(H_1\) et \(H_2\) sont deux sous-espaces vectoriels d’un même espace euclidien, on a \(H_1\subset H_2\) si et seulement si \(H_1^\perp\subset H_2^\perp\). Vrai Faux Le résultat correct est si et seulement si \(H_2^\perp\subset H_1^\perp\). Chargement …
