Quiz intégration

Suivant le signe de $\displaystyle\int_a^bf(t)dt$ on a $\displaystyle\int_a^b\bigl(|f(t)|-f(t)\bigr)dt=0$ ou $\displaystyle\int_a^b\bigl(|f(t)|+f(t)\bigr)dt=0$ et l’intégrale d’une fonction continue et positive n’est nulle que si cette fonction est nulle.

Le changement de variable $u=t-1$ se ramène à une intégrale de Riemann de référence.

L’intégrale de Dirichlet $\displaystyle\int_0^{+∞}\frac{\sin t}tdt$ converge mais l’intégrale $\displaystyle\int_0^{+∞}\Bigl|\frac{\sin t}t\Bigr|dt$ diverge.

Si cette limite $\ell$ est non nulle, les intégrales $\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)dt$ et $\displaystyle\int_0^{+\infty}\ell dt$ ont même nature, et cette dernière intégrale diverge.

Il existe une constante $k$ telle que $\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt+k$, et le changement de variable $u=-t$ donne $F(-x)=2k-F(x)$ donc $F$ n’est impaire que si $k=0$.

Une primitive est $\ln(\ln t)$, qui diverge en $+∞$.

Au voisinage de 0, $\ln t=o\Bigl(\dfrac1{t^{1/2}}\Bigr)$.

Il existe une constante $k$ telle que $\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt+k$, et le changement de variable $u=-t$ donne $F(-x)=F(x)$.

L’intégrale $\displaystyle\int_0^1f(t)dt$ est faussement impropre.

Pour construire un contre-exemple il suffit de considérer une fonction continue $f$ en «dent de scie» qui :

• est égale à $1$ pour $x=n\in\Bbb N^*$ ;
• est affine sur les intervalles $\Bigl[n-\dfrac1{n^2},n\Bigr]$ et $\Bigl[n, n+\dfrac1{n^2}\Bigr]$ ;
• nulle partout ailleurs

Cette fonction est intégrable sur $\Bbb R_+$ (dessiner son graphe pour se convaincre que son intégrale vaut $\displaystyle\sum_{n=1}^{+∞}\dfrac1{n^2}$) mais sans être bornée.

$\displaystyle\lim_{x\to+∞}\int_x^{x+1}f(t)dt=0$ et on applique la technique de comparaison à une intégrale.

$|f+g|≤|f|+|g|$ (l’espace $L^1(\Bbb R)$ est un espace vectoriel).

Cela reste valable avec $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}$ ou encore $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}$.

Il faut que l’intégrale $\displaystyle\int_{\Bbb R}\bigl|f(t)\bigr|dt$ converge.

Elle est paire et équivalente à $\displaystyle\frac1{2(1-t)^{1/2}}$ au voisinage de 1.

Il existe une constante $k$ telle que $\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt+k$, et pour tout $x\in\Bbb R$, $F'(x+T)-F'(x)=0$ donc $\displaystyle F(x+T)-F(x)=F(T)-F(0)=\int_0^Tf(t)dt$. La fonction $F$ n’est $T$-périodique que si $\displaystyle\int_0^Tf(t)dt=0$.

On a $\displaystyle\int_x^{x^2}f(t)dt=\int_0^{x^2}f(t)dt-\int_0^xf(t)dt$ et ces deux intégrales ont même limite.

La notion de fonction intégrable sur un segment n’a pas beaucoup d’intérêt puisqu’elle se confond avec la notion de fonction continue par morceaux.

Pour construire un contre-exemple il suffit de considérer une fonction continue $f$ en «dent de scie» qui :

• est égale à $n$ pour $x=n\in\Bbb N^*$ ;
• est affine sur les intervalles $\Bigl[n-\dfrac1{n^3},n\Bigr]$ et $\Bigl[n, n+\dfrac1{n^3}\Bigr]$ ;
• nulle partout ailleurs

Cette fonction est intégrable sur $\Bbb R_+$ (dessiner son graphe pour se convaincre que son intégrale vaut $\displaystyle\sum_{n=1}^{+∞}\dfrac1{n^2}$) mais sans être bornée.

Mais il suffit que les deux fonctions soient de carré intégrable (l’espace $L^2(\Bbb R)$ est un espace vectoriel).

L’expression correcte des sommes de Riemann est $\displaystyle\lim\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(a+k\frac{b-a}n\Bigr)=\int_a^bf(t)dt$.

Il faut supposer en plus $f$ décroissante (comparaison série/intégrale).