Quiz intégration

Quiz intégration

1. Une fonction \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) est intégrable lorsqu’elle est continue par morceaux et \(\displaystyle\int_{\Bbb R}f(t)dt\) converge.

 
 

2. Si \(f\) est continue et positive sur \(\Bbb R_+\), la série \(\displaystyle \sum f(n)\) converge si et seulement si l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+∞}f(t)dt\) converge.

 
 

3. Si une fonction continue et monotone sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, elle tend vers 0 en \(+∞\).

 
 

4. Si \(f\) est continue sur \([0,1]\) alors \(\displaystyle\lim\frac1n\sum_{k=0}^{n}f\Bigl(\frac kn\Bigr)=\int_0^1f(t)dt\).

 
 

5. La somme de deux fonctions intégrables sur \(\Bbb R\) est intégrable sur \(\Bbb R\).

 
 

6. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{t\ln t}\) est intégrable sur \([2,+∞[\).

 
 

7. Si une fonction continue sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, elle tend vers 0 en \(+∞\).

 
 

8. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction paire \(f\) est impaire.

 
 

9. Le produit de deux fonctions intégrables sur \(\Bbb R\) est intégrable sur \(\Bbb R\).

 
 

10. Si une fonction continue et intégrable sur \(\Bbb R_+\) possède une limite en \(+∞\), celle-ci est nulle.

 
 

11. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac{\sin t}t\) est intégrable sur \(]0,+∞[\).

 
 

12. Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) alors \(\displaystyle\lim\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(k\frac{b-a}n\Bigr)=\int_a^bf(t)dt\).

 
 

13. Si une fonction continue est intégrable sur \(\Bbb R_+\), elle est bornée.

 
 

14. Si la fonction \(f\) est continue sur \(]0,1]\) et admet une limite finie en 0 alors \(f\) est intégrable.

 
 

15. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction \(f\) \(T\)-périodique est elle-même \(T\)-périodique.

 
 

16. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{(t-1)^\alpha}\) est intégrable sur \(]1,2]\) si et seulement si \(\alpha<1\).

 
 

17. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction impaire \(f\) est paire.

 
 

18. La fonction \(t\mapsto\ln t\) est intégrable sur \(]0,1]\).

 
 

19. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{\sqrt{1-t^2}}\) est intégrable sur \(]-1,1[\).

 
 

20. Si une fonction continue sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, \(\displaystyle\lim_{x\to+∞}\int_x^{x^2}f(t)dt=0\).

 
 

21. Si \(f\) est continue et vérifie \(\displaystyle\Bigl|\int_a^bf(t)dt\Bigr|=\int_a^b|f(t)|dt\) alors \(f\) est de signe constant.

 
 

22. Une fonction \(f\) est intégrable sur \(\Bbb R\) si et seulement si elle est intégrable sur tout segment de \(\Bbb R\).