Quiz séries entières Quiz séries entières 1. Si la série \(\sum a_n2^n\) converge, le rayon de convergence est supérieur ou égal à 2. Vrai Faux Conséquence du lemme d’Abel. 2. Si \(R\) est le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nx^n\), la convergence de cette dernière est normale sur \(]-R,R[\). Vrai Faux La convergence est normale sur tout segment inclus dans \(]-R,R[\). 3. Si la limite \(\ell=\lim\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\) existe, le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^{2n}\) est égal à \(\dfrac1{\ell^2}\). Vrai Faux Il est égal à \(\dfrac1{\sqrt\ell}\) d’après le critère de d’Alembert. 4. Si \(\lim\tfrac{a_{n+1}}{a_n}=0\) la série \(\sum a_nz^n\) converge pour tout \(z\in\Bbb C\). Vrai Faux Conséquence du critère de d’Alembert. 5. Le produit de deux fonctions développables en série entière est développable en série entière. Vrai Faux On l’obtient en réalisant un produit de Cauchy des deux séries entières. 6. Le rayon de convergence \(R\) de \(\sum a_nz^n\) est égal à \(\sup\bigl\{\rho≥0\bigm|\lim a_n\rho^n=0\bigr\}\) Vrai Faux Si \(\rho>R\) la série \(\sum a_nz^n\) diverge grossièrement donc la suite \((a_n\rho^n)\) ne tend pas vers 0 ; si \(\rho<R\) la série \(\sum a_nz^n\) converge donc la suite \((a_n\rho^n)\) tend vers 0. 7. Si \(\sum a_nz^n\) et \(\sum(b_nz^n)\) ont pour rayons de convergence respectifs \(R_a\) et \(R_b\), le rayon de convergence de \(\sum(a_n+b_n)z^n\) est égal à \(\min(R_a,R_b)\). Vrai Faux Ce n’est vrai que si \(R_a\ne R_b\). Dans le cas général, le rayon de convergence de la somme est supérieur ou égal à \(\min(R_a,R_b)\). 8. La fonction \(x\mapsto\text{arctan}(x)\) est développable en série entière sur \(\Bbb R\). Vrai Faux Cette fonction n’est développable en série entière que sur l’intervalle \(]-1,1[\). 9. Si \(\lim a_n=0\) le rayon de convergence de \(\sum a_nz^n\) est supérieur ou égal à 1. Vrai Faux Conséquence du lemme d’Abel. 10. Si \(f(x)=\sum a_nx^n\) est une série entière de rayon de convergence égal à \(R\), la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal C^\infty\) sur \(]-R,R[\), et \(a_n=n!f^{(n)}(0)\). Vrai Faux On a \(a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\). 11. Si la suite \((a_n)\) ne s’annule pas, le rayon de convergence de \(\sum a_nz^n\) vaut \(\lim\Bigl|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\Bigr|\). Vrai Faux Cela n’est vrai que si cette limite existe. 12. Les séries entières \(\sum a_nz^n\) et \(\sum\tfrac{a_n}{n+1}z^{n+1}\) ont même rayon de convergence. Vrai Faux La série \(\sum a_nz^n\) est la série dérivée de \(\sum\tfrac{a_n}{n+1}z^{n+1}\). 13. Si \(a_n=O(b_n)\) le rayon de convergence de \(\sum a_nz^n\) est inférieur ou égal au rayon de convergence de \(\sum b_nz^n\). Vrai Faux Au contraire, le rayon de convergence de \(\sum a_nz^n\) est supérieur ou égal au rayon de convergence de \(\sum b_nz^n\). 14. Le rayon de convergence \(R\) de \(\sum a_nz^n\) est égal à \(\sup\bigl\{\rho≥0\bigm|\sum a_n\rho^n\text{ converge}\bigr\}\). Vrai Faux Si \(\rho>R\) la série \(\sum a_nz^n\) diverge. 15. S’il existe \(\eta>0\) tel que pour tout \(x\in[-\eta,\eta]\), \(\sum_na_nx^n=0\) alors pour tout \(n\), \(a_n=0\). Vrai Faux Résulte de l’unicité du développement en série entière d’une fonction (ici de la fonction nulle). Chargement …