Quiz réduction des endomorphismes Quiz réduction des endomorphismes 1. Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé. Vrai Faux En conséquence de quoi toute matrice à coefficients complexes est trigonalisable. 2. Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les valeurs présentes sur sa diagonale. Vrai Faux Si \(d_1,\ldots,d_n\) sont les éléments qui figurent sur la diagonale de \(A\), le polynôme caractéristique de \(A\) vaut \((X-d_1)\cdots(X-d_n)\). 3. Si la matrice \(A\) est diagonale, la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre \(\lambda\) est égale au nombre de présences de \(\lambda\) sur la diagonale de \(A\). Vrai Faux \(A-\lambda I\) est diagonale donc son rang est égal au nombre de termes non nuls sur sa diagonale. 4. Si \(A\) est diagonalisable et possède 0 pour unique valeur propre, alors \(A=0\). Vrai Faux Plus généralement, si \(A\) est diagonalisable et possède une unique valeur propre \(\lambda\), alors \(A=\lambda I\). 5. Une projection vectorielle est toujours diagonalisable. Vrai Faux Si \(p\) est une projection vectorielle de \(E\), \(E=\text{Ker}(p)\oplus\text{Ker}(p-Id)\). 6. Si \(A\) est une matrice de taille \(n\), le coefficient de \(X^{n-1}\) dans le polynôme caractéristique de \(A\) est égal à \(\text{tr}(A)\). Vrai Faux Il est égal à \(-\text{tr}(A)\). 7. Si \(A\) est diagonalisable et possède \(1\) pour unique valeur propre, alors \(A=I\). Vrai Faux Il existe une matrice inversible \(P\) telle que \(A=PIP^{-1}=PP^{-1}=I\). 8. Si \(A\) est diagonalisable, il en est de même de \(A^2\). Vrai Faux Si \(A\) est semblable à \(\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\), \(A^2\) est semblable au carré de cette matrice, égal à \(\text{diag}(\lambda_1^2,\ldots,\lambda_n^2)\). 9. Si la matrice \(A\) est triangulaire, la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre \(\lambda\) est égale au nombre de présences de \(\lambda\) sur la diagonale de \(A\). Vrai Faux Ce nombre de présences est égal à la l’ordre de multiplicité de \(\lambda\), qui majore mais n’est pas toujours égal à la dimension du sous-espace propre associé. 10. Si \(A\) est une matrice diagonalisable et nilpotente (c’est-à-dire si \(A^n=0\)), alors \(A=0\). Vrai Faux Si \(\lambda\) est une valeur propre et \(x\ne 0_E\) un vecteur propre associé, alors \(A^nx=\lambda^nx\) donc \(\lambda=0\). La matrice \(A\) est semblable à la matrice nulle donc est nulle. 11. Une matrice diagonalisable \(A\) est inversible si et seulement si \(0\) n’est pas valeur propre de \(A\). Vrai Faux L’hypothèse \(A\) diagonalisable est superflue. 12. Toute matrice de rang 1 est diagonalisable. Vrai Faux 0 est valeur propre d’ordre \(n-1\) donc pour que \(A\) soit diagonalisable, il faut et il suffit qu’elle possède une autre valeur propre (alors nécessairement unique et simple). Puisque la somme des valeurs propres est égale à la trace, \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\text{tr}(A)\ne0\). 13. Si \(A\) est une matrice à coefficients dans \(\Bbb C\) telle que \(A^2\) soit diagonalisable, alors \(A\) est aussi diagonalisable. Vrai Faux La matrice \(A=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) n’est pas diagonalisable alors que \(A^2=0\) l’est. 14. Un endomorphisme \(u\) est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à \(n\), dimension de l’espace. Vrai Faux Les sous-espaces propres sont en somme directe donc la dimension de leur somme est égale à la somme de leurs dimensions. 15. Tout endomorphisme possède au moins une valeur propre. Vrai Faux Si \(E\) est un \(\Bbb R\)-espace vectoriel de dimension paire, son polynôme caractéristique est un polynôme réel de degré pair donc peut ne pas posséder de racine. Dans les autres cas (\(E\) de dimension impaire ou dans le cas d’un \(\Bbb C\)-espace vectoriel) le résultat est vrai. 16. Si \(u\) est un endomorphisme diagonalisable, les sous-espaces stables par \(u\) sont les sous-espaces propres de \(u\). Vrai Faux La somme de deux sous-espaces propres distincts est toujours stable par \(u\) mais n’est plus un sous-espace propre. 17. Si \(A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\), son polynôme caractéristique est égal à \(X^2-\text{tr}(A)X+\text{det}(A)\). Vrai Faux En dimension \(n\), le coefficient de \(X^{n-1}\) vaut \(-\text{tr}(A)\) et le coefficient constant vaut \((-1)^n\text{det}(A)\). 18. Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la dimension de chaque sous-espace propre est égal à la multiplicité de la valeur propre correspondante. Vrai Faux Il faut en plus que la somme de ces dimensions soit égale à \(n\), dimension de l’espace, autrement dit que le polynôme caractéristique soit scindé. 19. \(A\) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé à racines simples. Vrai Faux La condition est suffisante mais pas nécessaire. 20. Toute matrice est trigonalisable. Vrai Faux Seules les matrices complexes peuvent être toujours trigonalisées. Une matrice réelle peut ne pas être trigonalisable (à moins de la considérer comme une matrice complexe). 21. Si \(u\) est un endomorphisme, ses sous-espaces propres sont stables par \(u\). Vrai Faux Si \(x\in\text{Ker}(u-\lambda Id)\), \(u(x)=\lambda x\in \text{Ker}(u-\lambda Id)\). 22. Si \(A\) est diagonalisable et inversible, alors \(A^{-1}\) est aussi diagonalisable et inversible. Vrai Faux Si \(A\) est semblable à \(\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\), \(A^{-1}\) est semblable à l’inverse de cette matrice, égale à \(\text{diag}(1/\lambda_1,\ldots,1/\lambda_n)\). 23. La dimension d’un sous-espace propre est supérieure ou égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante. Vrai Faux Au contraire, sa dimension est inférieure ou égale à l’ordre de multiplicité. 24. Le vecteur nul est vecteur propre de toute valeur propre de \(A\). Vrai Faux Le vecteur nul est bien présent dans chacun des sous-espaces propres, mais n’est pas un vecteur propre. Chargement …
