Quiz réduction des endomorphismes

Quiz réduction des endomorphismes

1. Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la dimension de chaque sous-espace propre est égal à la multiplicité de la valeur propre correspondante.

 
 

2. Une matrice diagonalisable \(A\) est inversible si et seulement si \(0\) n’est pas valeur propre de \(A\).

 
 

3. Si \(A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\), son polynôme caractéristique est égal à \(X^2-\text{tr}(A)X+\text{det}(A)\).

 
 

4. Si \(A\) est une matrice de taille \(n\), le coefficient de \(X^{n-1}\) dans le polynôme caractéristique de \(A\) est égal à \(\text{tr}(A)\).

 
 

5. Le vecteur nul est vecteur propre de toute valeur propre de \(A\).

 
 

6. La dimension d’un sous-espace propre est supérieure ou égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante.

 
 

7. Si \(A\) est diagonalisable et possède 0 pour unique valeur propre, alors \(A=0\).

 
 

8. Si \(A\) est diagonalisable, il en est de même de \(A^2\).

 
 

9. Toute matrice de rang 1 est diagonalisable.

 
 

10. Un endomorphisme \(u\) est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à \(n\), dimension de l’espace.

 
 

11. Si la matrice \(A\) est diagonale, la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre \(\lambda\) est égale au nombre de présences de \(\lambda\) sur la diagonale de \(A\).

 
 

12. Si \(A\) est une matrice diagonalisable et nilpotente (c’est-à-dire si \(A^n=0\)), alors \(A=0\).

 
 

13. Tout endomorphisme possède au moins une valeur propre.

 
 

14. \(A\) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

 
 

15. Si \(A\) est diagonalisable et possède \(1\) pour unique valeur propre, alors \(A=I\).

 
 

16. Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé.

 
 

17. Toute matrice est trigonalisable.

 
 

18. Si \(u\) est un endomorphisme, ses sous-espaces propres sont stables par \(u\).

 
 

19. Si \(A\) est une matrice à coefficients dans \(\Bbb C\) telle que \(A^2\) soit diagonalisable, alors \(A\) est aussi diagonalisable.

 
 

20. Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les valeurs présentes sur sa diagonale.

 
 

21. Si \(u\) est un endomorphisme diagonalisable, les sous-espaces stables par \(u\) sont les sous-espaces propres de \(u\).

 
 

22. Une projection vectorielle est toujours diagonalisable.

 
 

23. Si la matrice \(A\) est triangulaire, la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre \(\lambda\) est égale au nombre de présences de \(\lambda\) sur la diagonale de \(A\).

 
 

24. Si \(A\) est diagonalisable et inversible, alors \(A^{-1}\) est aussi diagonalisable et inversible.