Quiz calcul matriciel

1. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

2. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

3. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

4. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

5. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

6. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

7. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

8. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

9. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

10. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

11. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

12. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

13. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

14. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

15. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

16. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

17. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

18. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

19. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

20. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

21. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

22. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

23. Deux matrices semblables ont même déterminant.

24. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

25. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

26. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

27. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

28. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

29. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).