Quiz calcul matriciel

1. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

2. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

3. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

4. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

5. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

6. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

7. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

8. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

9. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

10. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

11. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

12. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

13. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

14. Deux matrices semblables ont même déterminant.

15. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

16. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

17. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

18. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

19. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

20. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

21. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

22. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

23. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

24. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

25. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

26. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

27. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

28. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

29. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).