Quiz calcul matriciel

1. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

2. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

3. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

4. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

5. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

6. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

7. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

8. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

9. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

10. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

11. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

12. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

13. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

14. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

15. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

16. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

17. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

18. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

19. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

20. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

21. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

22. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

23. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

24. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

25. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

26. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

27. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

28. Deux matrices semblables ont même déterminant.

29. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).