Quiz calcul matriciel

1. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

2. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

3. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

4. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

5. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

6. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

7. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

8. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

9. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

10. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

11. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

12. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

13. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

14. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

15. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

16. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

17. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

18. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

19. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

20. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

21. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

22. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

23. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

24. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

25. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

26. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

27. Deux matrices semblables ont même déterminant.

28. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

29. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.