Quiz calcul matriciel

1. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

2. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

3. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

4. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

5. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

6. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

7. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

8. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

9. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

10. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

11. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

12. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

13. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

14. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

15. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

16. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

17. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

18. Deux matrices semblables ont même déterminant.

19. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

20. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

21. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

22. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

23. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

24. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

25. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

26. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

27. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

28. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

29. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.