Quiz suites numériques

Quiz suites numériques

1. Si la suite réelle \((u_n)\) converge, il en est de même de la suite \(\lfloor u_n\rfloor\) (la suite des parties entières de \(u_n\)).

 
 

2. Si les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont strictement positives et si \(u_n\sim v_n\) alors \(\ln(u_n)=\ln(v_n)+o(1)\).

 
 

3. Si \(u_n\sim v_n\) et \(u’_n\sim v’_n\) alors \(u_nu’_n\sim v_nv’_n\).

 
 

4. Une suite réelle dont la limite est positive est elle-même positive à partir d’un certain rang.

 
 

5. Une suite positive de limite nulle est décroissante à partir d’un certain rang.

 
 

6. Si \((u_n)\) est une suite à valeurs strictement positives vérifiant \(\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=a\in\Bbb R_+\) alors pour tout \(\epsilon>0\), \(u_n=O((a+\epsilon)^n)\).

 
 

7. Si \((u_n)\) est strictement positive et \(\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1\) alors \(\lim u_n=0\).

 
 

8. La suite \((u_n)\) converge si et seulement si les suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent vers la même limite.

 
 

9. Si \(u_n\sim v_n\) et si la suite \((v_n)\) est décroissante, alors la suite \((u_n)\) est décroissante à partir d’un certain rang.

 
 

10. Si \((u_n)\) et \((v_n)\) sont deux suites réelles convergentes, il en est de même de la suite \((\max(u_n,v_n))\).

 
 

11. Si une suite diverge vers \(+\infty\), il existe un rang à partir duquel elle est croissante.

 
 

12. Si \(u_n\sim v_n\) et \(\alpha\in\Bbb R\) alors \(u_n^\alpha\sim v_n^\alpha\).

 
 

13. Si les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) ont même limite, alors \(u_n\sim v_n\).

 
 

14. Si \(u_n\) est une suite réelle qui converge vers \(\ell\) et si \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) est continue en \(\ell\), la suite \((f(u_n))\) converge vers \(f(\ell)\).

 
 

15. La suite \((u_n)\) converge si et seulement si les suites \((u_{2n})\) et \((u_{3n})\) convergent vers la même limite.

 
 

16. Une suite croissante \((u_n)\)  converge si et seulement si la suite \((u_{2n})\) converge.

 
 

17. Si \((u_n)\) est strictement positive et si \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1\) alors \((u_n)\) converge vers \(0\).

 
 

18. Si \(u_n\sim v_n\) alors \(u_n\) et \(v_n\) ont même signe à partir d’un certain rang.

 
 

19. Si \(u_n\sim v_n\) alors \(u_n^n\sim v_n^n\).

 
 

20. Si \(u_n\) converge vers 1, il en est de même de la suite \((u_n^n)\).

 
 

21. Si \(u_n=v_n+o(v_n)\) alors \(v_n=u_n+o(u_n)\).

 
 

22. Si \((u_n)\) est strictement positive et \(\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1\) alors \(\lim u_n=0\).

 
 

23. Si \(u_n\sim v_n\) alors \(\text{e}^{u_n}\sim\text{e}^{v_n}\).