Quiz suites et séries de fonctions

Quiz suites et séries de fonctions

1. La suite de fonctions \(f_n\) converge uniformément sur \(I\) si et seulement si la série de fonctions \(\displaystyle\sum (f_{n+1}-f_n)\) converge normalement sur \(I\).

 
 

2. La limite uniforme d’une suite de fonctions bornées est bornée.

 
 

3. Une limite simple de fonctions bornées est bornée.

 
 

4. Si la série de fonctions \(\displaystyle\sum f_n\) converge normalement alors la série \(\displaystyle\sum |f_n|\) converge uniformément.

 
 

5. Si la suite de fonctions de classe \(\mathcal C^1\) \((f_n)\) converge simplement sur \(I\) et si la suite des fonctions dérivées \((f’_n)\) converge uniformément sur \(I\) alors la suite \((f_n)\) converge uniformément sur tout segment inclus dans \(I\).

 
 

6. Si \((f_n)\) converge uniformément sur tout segment inclus dans \(I\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\).

 
 

7. Une limite simple de fonctions croissantes est croissante.

 
 

8. Si la suite de fonctions \((f_n)\) converge uniformément vers 0, la série de fonctions \(\displaystyle\sum f_n\) converge normalement sur \(I\).

 
 

9. Si \((f_n)\) converge simplement sur \([a,b]\) et uniformément sur \([a,b[\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur \([a,b]\).

 
 

10. Soit \((f_n)\) une suite de fonctions telles que pour toute suite convergente \((x_n)\), la suite \((f_n(x_n))\) converge. Alors \((f_n)\) converge simplement.

 
 

11. Une limite simple de fonctions de limites nulles en \(+\infty\) est de limite nulle en \(+\infty\).

 
 

12. Si \(\displaystyle\sum f_n\) converge normalement sur toute segment inclus dans \(I\) alors \(\displaystyle\sum f_n\) converge uniformément sur \(I\).

 
 

13. Si la suite \(f_n\) converge uniformément sur \(I\) et si  pour tout \(x\in I\) la série \(\displaystyle\sum f_n(x)\) vérifie les hypothèses du critère spécial relatif aux séries alternées alors la convergence de la série \(\displaystyle\sum f_n\) est uniforme sur \(I\).

 
 

14. Si \((f_n)\) est une suite de fonctions de classe \(\mathcal C^1\) telle que \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) et \((f’_n)\) converge simplement vers \(g\), alors \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) et \(f’=g\).

 
 

15. Si une suite de fonctions continues \((f_n)\) converge simplement vers \(f\) sur tout segment inclus dans \(\Bbb R\) alors \(f\) est continue sur \(\Bbb R\).

 
 

16. Une limite simple de fonctions paires est paire.

 
 

17. Si \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\) et sur \(J\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\cup J\).

 
 

18. Si la série de fonctions \(\displaystyle\sum f_n\) converge absolument et uniformément alors la série de fonctions \(\displaystyle\sum |f_n|\) converge uniformément.

 
 

19. Si \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur tout segment inclus dans \(I\).

 
 

20. Si la suite des fonctions dérivées \((f_n’)\) converge uniformément sur \(I\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\).