Quiz suites et séries de fonctions

Quiz suites et séries de fonctions

1. La suite de fonctions \(f_n\) converge uniformément sur \(I\) si et seulement si la série de fonctions \(\displaystyle\sum (f_{n+1}-f_n)\) converge normalement sur \(I\).

 
 

2. Si \(\displaystyle\sum f_n\) converge normalement sur toute segment inclus dans \(I\) alors \(\displaystyle\sum f_n\) converge uniformément sur \(I\).

 
 

3. Une limite simple de fonctions de limites nulles en \(+\infty\) est de limite nulle en \(+\infty\).

 
 

4. Soit \((f_n)\) une suite de fonctions telles que pour toute suite convergente \((x_n)\), la suite \((f_n(x_n))\) converge. Alors \((f_n)\) converge simplement.

 
 

5. Si \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\) et sur \(J\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\cup J\).

 
 

6. Si \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur tout segment inclus dans \(I\).

 
 

7. Si la suite des fonctions dérivées \((f_n’)\) converge uniformément sur \(I\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\).

 
 

8. La limite uniforme d’une suite de fonctions bornées est bornée.

 
 

9. Une limite simple de fonctions paires est paire.

 
 

10. Si \((f_n)\) est une suite de fonctions de classe \(\mathcal C^1\) telle que \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) et \((f’_n)\) converge simplement vers \(g\), alors \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) et \(f’=g\).

 
 

11. Si \((f_n)\) converge simplement sur \([a,b]\) et uniformément sur \([a,b[\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur \([a,b]\).

 
 

12. Si la suite de fonctions \((f_n)\) converge uniformément vers 0, la série de fonctions \(\displaystyle\sum f_n\) converge normalement sur \(I\).

 
 

13. Si la suite de fonctions de classe \(\mathcal C^1\) \((f_n)\) converge simplement sur \(I\) et si la suite des fonctions dérivées \((f’_n)\) converge uniformément sur \(I\) alors la suite \((f_n)\) converge uniformément sur tout segment inclus dans \(I\).

 
 

14. Si une suite de fonctions continues \((f_n)\) converge simplement vers \(f\) sur tout segment inclus dans \(\Bbb R\) alors \(f\) est continue sur \(\Bbb R\).

 
 

15. Si \((f_n)\) converge uniformément sur tout segment inclus dans \(I\) alors \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\).

 
 

16. Si la série de fonctions \(\displaystyle\sum f_n\) converge normalement alors la série \(\displaystyle\sum |f_n|\) converge uniformément.

 
 

17. Une limite simple de fonctions bornées est bornée.

 
 

18. Si la suite \(f_n\) converge uniformément sur \(I\) et si  pour tout \(x\in I\) la série \(\displaystyle\sum f_n(x)\) vérifie les hypothèses du critère spécial relatif aux séries alternées alors la convergence de la série \(\displaystyle\sum f_n\) est uniforme sur \(I\).

 
 

19. Si la série de fonctions \(\displaystyle\sum f_n\) converge absolument et uniformément alors la série de fonctions \(\displaystyle\sum |f_n|\) converge uniformément.

 
 

20. Une limite simple de fonctions croissantes est croissante.