Quiz suites et séries de fonctions

C’est le principe du recouvrement.

Il suffit d’appliquer la propriété aux suites constantes pour obtenir la convergence simple.

On peut uniquement affirmer que la convergence est uniforme sur tout segment inclus dans \(I\).

C’est une conséquence du théorème de dérivation des suites de fonctions.

C’est même vrai pour tout intervalle \(J\) inclus dans \(I\) car \(\|f_n-f\|_{\infty,J}\leq \|f_n-f\|_{\infty, I}\).

Si on considère la suite  \(f_n:x\mapsto n\), la suite des fonctions dérivées est la suite nulle et pourtant \(f_n\) ne converge pas simplement, a fortiori uniformément.

Les fonctions \(\displaystyle f_n:x\mapsto\frac{(-1)^n}{n^x}\) fournissent une contre-exemple sur l’intervalle \(I=]1,+∞[\).

Soit \(f_n:x\mapsto\begin{cases}x&\text{si \(|x|\leq n\)}\\ 0&\text{sinon}\end{cases}\). Chacune des fonctions \(f_n\) a une limite nulle en \(+\infty\). Pourtant \((f_n)\) converge simplement vers la fonction \(f:x\mapsto x\), de limite non nulle en \(+\infty\).

Pour un entier \(n\in\Bbb N\) quelconque, \(\|f\|_\infty\leq \|f_n\|_\infty+\|f_n-f\|_\infty\) donc \(f\) est bornée.

C’est le contraire : le théorème de dérivation exige que \((f_n)\) converge simplement et \((f’_n)\) uniformément.

Soit \(x\) fixé. Si pour tout \(n\in\Bbb N\), \(f_n(-x)=f_n(x)\) alors par passage à la limite (simple) \(f(-x)=f(x)\).

Lorsque \(\|f_n\|_\infty=\frac1n\) la suite de fonctions \((f_n)\) converge uniformément vers 0 mais la série \(\displaystyle\sum f_n\) ne converge pas normalement puisque la série \(\displaystyle\sum \frac1n\) diverge.

Pour \(x<y\) fixés, on a pour tout \(n\in\Bbb N\), \(f_n(x)\leq f_n(y)\) et par passage à la limite \(f(x)\leq f(y)\).

\(\|f_n-f\|_{\infty, [a,b]}=\max\bigl(\|f_n-f\|_{\infty, [a,b[}, |f_n(b)-f(b)|\bigr)\).

La convergence normale entraîne la convergence absolue et la convergence uniforme.

\(\|f_n-f\|_{\infty, I\cup J}=\max\bigl(\|f_n-f\|_{\infty, I},\|f_n-f\|_{\infty, J}\bigr)\). Le résultat est en revanche faux si on réalise l’union d’un nombre infini d’intervalles.

Puisque la série \(\displaystyle\sum f_n\) converge, la suite \(f_n\) converge simplement vers 0. Puisque la convergence est uniforme on a \(\lim \|f_n\|_\infty=0\).

Or d’après le critère spécial \(\|R_n\|_∞≤\|f_{n+1}\|_∞\) donc la convergence de \(\displaystyle\sum f_n\) est uniforme.

Soit \(f_n:x\mapsto\begin{cases}x&\text{si \(|x|\leq n\)}\\ 0&\text{sinon}\end{cases}\). Chacune des fonctions \(f_n\) est bornée sur \(\Bbb R\) : \(\|f_n\|_\infty=n\). Pourtant \((f_n)\) converge vers la fonction \(f:x\mapsto x\), non bornée sur \(\Bbb R\).

Soit \(f_n:x\mapsto\begin{cases}x&\text{si \(|x|\leq n\)}\\ 0&\text{sinon}\end{cases}\). La suite \((f_n)\) converge simplement sur \(\Bbb R\) vers la fonction \(f:x\mapsto x\), la convergence est uniforme sur tout segment mais pas sur  \(\Bbb R\).

La condition est suffisante mais pas nécessaire : d’après le principe du télescopage la suite \(f_n\) converge uniformément si et seulement si la série \(\displaystyle\sum(f_{n+1}-f_n)\) converge uniformément, mais la convergence uniforme n’entraîne pas la convergence normale.