Quiz réduction des endomorphismes

Quiz réduction des endomorphismes

1. Si \(u\) est un endomorphisme, ses sous-espaces propres sont stables par \(u\).

 
 

2. Si \(A\) est une matrice diagonalisable et nilpotente (c’est-à-dire si \(A^n=0\)), alors \(A=0\).

 
 

3. Si la matrice \(A\) est diagonale, la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre \(\lambda\) est égale au nombre de présences de \(\lambda\) sur la diagonale de \(A\).

 
 

4. Si \(A\) est diagonalisable et possède \(1\) pour unique valeur propre, alors \(A=I\).

 
 

5. Si \(A\) est diagonalisable et inversible, alors \(A^{-1}\) est aussi diagonalisable et inversible.

 
 

6. La dimension d’un sous-espace propre est supérieure ou égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante.

 
 

7. Tout endomorphisme possède au moins une valeur propre.

 
 

8. Si \(A\) est une matrice de taille \(n\), le coefficient de \(X^{n-1}\) dans le polynôme caractéristique de \(A\) est égal à \(\text{tr}(A)\).

 
 

9. Le vecteur nul est vecteur propre de toute valeur propre de \(A\).

 
 

10. \(A\) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

 
 

11. Toute matrice de rang 1 est diagonalisable.

 
 

12. Si la matrice \(A\) est triangulaire, la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre \(\lambda\) est égale au nombre de présences de \(\lambda\) sur la diagonale de \(A\).

 
 

13. Si \(A\) est diagonalisable et possède 0 pour unique valeur propre, alors \(A=0\).

 
 

14. Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé.

 
 

15. Un endomorphisme \(u\) est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à \(n\), dimension de l’espace.

 
 

16. Si \(A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\), son polynôme caractéristique est égal à \(X^2-\text{tr}(A)X+\text{det}(A)\).

 
 

17. Une projection vectorielle est toujours diagonalisable.

 
 

18. Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la dimension de chaque sous-espace propre est égal à la multiplicité de la valeur propre correspondante.

 
 

19. Toute matrice est trigonalisable.

 
 

20. Si \(A\) est une matrice à coefficients dans \(\Bbb C\) telle que \(A^2\) soit diagonalisable, alors \(A\) est aussi diagonalisable.

 
 

21. Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont les valeurs présentes sur sa diagonale.

 
 

22. Une matrice diagonalisable \(A\) est inversible si et seulement si \(0\) n’est pas valeur propre de \(A\).

 
 

23. Si \(A\) est diagonalisable, il en est de même de \(A^2\).

 
 

24. Si \(u\) est un endomorphisme diagonalisable, les sous-espaces stables par \(u\) sont les sous-espaces propres de \(u\).