Quiz probabilités

Si \(A\) et \(B\) sont disjoints, \(P(A\cap B)=0\) donc ils ne sont indépendants que si \(P(A)=0\) ou \(P(B)=0\).

Si \(A\) et \(B\) sont indépendants et incompatibles alors \(0=P(A\cap B)=P(A)P(B)\) donc \(P(A)=0\) ou \(P(B)=0\).

La série \(\displaystyle\sum P(\{n\})\) converge (sa somme vaut 1) donc son terme général tend vers 0.

Elle est appelée la tribu grossière.

C’est un exercice classique traité en classe.

En revanche on a \(P(B\mid A)+P(\overline B\mid A)=1\).

C’est une tribu dans tous les cas, mais lorsque \(\Omega\) n’est pas dénombrable celle-ci ne présente guère d’intérêt (il n’est pas possible de définir une probabilité non triviale sur cette tribu).

La formule exacte est : \(V(X)=G_X »(1)+G_X'(1)-G_X'(1)^2\).

On a \(G_X(1)=1\) et \(G’_X(1)=E(X)\).

En revanche la réciproque est fausse.

Le lancer de deux dés équilibrés ne donne pas une loi uniforme sur \(\{2,3,\ldots,12\}\) !

Si \(X\) suit une loi uniforme sur \(\{-1,1\}\) alors \(E(X)=0\) et \(E(\text{e}^X)=\text{ch}(1)\).

On a \(P(A)P(\overline A)=P(A\cap \overline A)=P(\emptyset)=0\) donc \(P(A)=0\) ou \(P(\overline A)=0\).

D’après la formule des probabilités totales, \(P(X=x\text{ et }Y=y)=\sum_{z\in Z(\Omega)}P\bigl(X=x\text{ et }(Y,Z)=(y,z)\bigr)P(Z=z)\).

Par indépendance on en déduit \(P(X=x\text{ et }Y=y)=\sum_{z\in Z(\Omega)}P(X=x)P(Y=y\text{ et }Z=z)P(Z=z)\) soit \(P(X=x\text{ et }Y=y)=P(X=x)P(Y=y)\). Les variables \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.

Pour appliquer cette formule il faut que ces variables aléatoires soient supposées indépendantes.

C’est la formule des probabilités totales, qui s’écrit aussi \(\displaystyle P(B)=\sum_nP(B\mid A_n)P(A_n)\).

Pour les mêmes raisons, on peut avoir \(P(A)=1\) sans que \(A\) soit égal à \(\Omega\) (notion d’événement quasi-certain).

\(P(n-X=k)=P(X=n-k)=\binom n{n-k}p^{n-k}(1-p)^k=\binom nk(1-p)^kp^{n-k}\) donc \(n-X\) suit une loi binomiale \(\mathcal B(n,1-p)\).

La condition est nécessaire mais pas suffisante. Deux variables aléatoires peuvent être non corrélées (c’est-à-dire \(\text{cor}(X,Y)=0\)), auquel cas \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\), sans pour autant être indépendantes.

C’est le contraire : l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev mesure la dispersion de la variable autour de l’espérance et s’exprime par l’inégalité \(P(|X-E(X)|\geq \epsilon)\leq \frac{V(X)}{\epsilon^2}\)

Il faut que ces deux variables soient supposées indépendantes.

C’est vrai, mais uniquement si celle-ci est presque sûrement constante. En effet, si \(X\) est indépendante d’elle-même, alors pour tout \(x\in X(\Omega)\), \(P(X=x\text{ et }X=x)=P(X=x)^2\) donc \(P(X=x)=P(X=x)^2\) soit \(P(X=x)\in\{0,1\}\). Puisque \(\sum_{x\in X(\Omega)}P(X=x)=1\), il existe au moins un \(x\in X(\Omega)\) tel que \(P(X=x)\ne0\) soit \(P(X=x)=1\), ce qui signifie que \(X\) est presque sûrement égal à la constante \(x\).

Cette inégalité est fausse en général, de même que l’inégalité dans le sens opposé d’ailleurs.

Ceci peut être mis en défaut lorsque les variables \(X,Y,Z\) sont deux-à-deux indépendantes sans être indépendantes.

D’après la formule de Koenig-Huyghens, \(E(X^2)-E(X)^2=V(X)=E((X-E(X))^2)\geq 0\) par positivité de l’espérance.