Quiz intégration

Quiz intégration

1. Si \(f\) est continue et positive sur \(\Bbb R_+\), la série \(\displaystyle \sum f(n)\) converge si et seulement si l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+∞}f(t)dt\) converge.

 
 

2. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction impaire \(f\) est paire.

 
 

3. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction paire \(f\) est impaire.

 
 

4. Si une fonction continue et monotone sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, elle tend vers 0 en \(+∞\).

 
 

5. La somme de deux fonctions intégrables sur \(\Bbb R\) est intégrable sur \(\Bbb R\).

 
 

6. Si une fonction continue sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, \(\displaystyle\lim_{x\to+∞}\int_x^{x^2}f(t)dt=0\).

 
 

7. Si une fonction continue est intégrable sur \(\Bbb R_+\), elle est bornée.

 
 

8. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac{\sin t}t\) est intégrable sur \(]0,+∞[\).

 
 

9. Si \(f\) est continue et vérifie \(\displaystyle\Bigl|\int_a^bf(t)dt\Bigr|=\int_a^b|f(t)|dt\) alors \(f\) est de signe constant.

 
 

10. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{(t-1)^\alpha}\) est intégrable sur \(]1,2]\) si et seulement si \(\alpha<1\).

 
 

11. Si une fonction continue et intégrable sur \(\Bbb R_+\) possède une limite en \(+∞\), celle-ci est nulle.

 
 

12. Si \(f\) est continue sur \([0,1]\) alors \(\displaystyle\lim\frac1n\sum_{k=0}^{n}f\Bigl(\frac kn\Bigr)=\int_0^1f(t)dt\).

 
 

13. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{t\ln t}\) est intégrable sur \([2,+∞[\).

 
 

14. Une fonction \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) est intégrable lorsqu’elle est continue par morceaux et \(\displaystyle\int_{\Bbb R}f(t)dt\) converge.

 
 

15. Le produit de deux fonctions intégrables sur \(\Bbb R\) est intégrable sur \(\Bbb R\).

 
 

16. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{\sqrt{1-t^2}}\) est intégrable sur \(]-1,1[\).

 
 

17. Si la fonction \(f\) est continue sur \(]0,1]\) et admet une limite finie en 0 alors \(f\) est intégrable.

 
 

18. Une fonction \(f\) est intégrable sur \(\Bbb R\) si et seulement si elle est intégrable sur tout segment de \(\Bbb R\).

 
 

19. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction \(f\) \(T\)-périodique est elle-même \(T\)-périodique.

 
 

20. La fonction \(t\mapsto\ln t\) est intégrable sur \(]0,1]\).

 
 

21. Si une fonction continue sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, elle tend vers 0 en \(+∞\).

 
 

22. Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) alors \(\displaystyle\lim\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(k\frac{b-a}n\Bigr)=\int_a^bf(t)dt\).