Quiz intégration

Quiz intégration

1. Si la fonction \(f\) est continue sur \(]0,1]\) et admet une limite finie en 0 alors \(f\) est intégrable.

 
 

2. Si une fonction continue sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, \(\displaystyle\lim_{x\to+∞}\int_x^{x^2}f(t)dt=0\).

 
 

3. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{(t-1)^\alpha}\) est intégrable sur \(]1,2]\) si et seulement si \(\alpha<1\).

 
 

4. Le produit de deux fonctions intégrables sur \(\Bbb R\) est intégrable sur \(\Bbb R\).

 
 

5. Si une fonction continue et monotone sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, elle tend vers 0 en \(+∞\).

 
 

6. Si \(f\) est continue et vérifie \(\displaystyle\Bigl|\int_a^bf(t)dt\Bigr|=\int_a^b|f(t)|dt\) alors \(f\) est de signe constant.

 
 

7. Une fonction \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) est intégrable lorsqu’elle est continue par morceaux et \(\displaystyle\int_{\Bbb R}f(t)dt\) converge.

 
 

8. Si une fonction continue et intégrable sur \(\Bbb R_+\) possède une limite en \(+∞\), celle-ci est nulle.

 
 

9. Si une fonction continue est intégrable sur \(\Bbb R_+\), elle est bornée.

 
 

10. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{\sqrt{1-t^2}}\) est intégrable sur \(]-1,1[\).

 
 

11. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction paire \(f\) est impaire.

 
 

12. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac1{t\ln t}\) est intégrable sur \([2,+∞[\).

 
 

13. La somme de deux fonctions intégrables sur \(\Bbb R\) est intégrable sur \(\Bbb R\).

 
 

14. Si une fonction continue sur \(\Bbb R_+\) est intégrable, elle tend vers 0 en \(+∞\).

 
 

15. La fonction \(\displaystyle t\mapsto\frac{\sin t}t\) est intégrable sur \(]0,+∞[\).

 
 

16. Si \(f\) est continue sur \([0,1]\) alors \(\displaystyle\lim\frac1n\sum_{k=0}^{n}f\Bigl(\frac kn\Bigr)=\int_0^1f(t)dt\).

 
 

17. La fonction \(t\mapsto\ln t\) est intégrable sur \(]0,1]\).

 
 

18. Si \(f\) est continue et positive sur \(\Bbb R_+\), la série \(\displaystyle \sum f(n)\) converge si et seulement si l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+∞}f(t)dt\) converge.

 
 

19. Une fonction \(f\) est intégrable sur \(\Bbb R\) si et seulement si elle est intégrable sur tout segment de \(\Bbb R\).

 
 

20. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction impaire \(f\) est paire.

 
 

21. Une primitive \(F\) sur \(\Bbb R\) d’une fonction \(f\) \(T\)-périodique est elle-même \(T\)-périodique.

 
 

22. Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) alors \(\displaystyle\lim\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\Bigl(k\frac{b-a}n\Bigr)=\int_a^bf(t)dt\).