Quiz espaces vectoriels

Quiz espaces vectoriels

1. L’ensemble des suites monotones est un sous-espace vectoriel de \(\Bbb{R}^{\Bbb{N}}\).

 
 

2. Si \((e_1,\ldots,e_n)\) est une famille libre et \(x\in E\), la famille \((e_1+x,\ldots,e_n+x)\) est libre.

 
 

3. Si \(s\) est une symétrie, alors \(-s\) aussi.

 
 

4. L’application \(P\mapsto\frac12\bigl(P(X)+P(-X)\bigr)\) est la projection vectorielle sur l’espace des polynômes impairs, parallèlement à l’espace des polynômes pairs.

 
 

5. Si \(u\in{\cal L}(E,F)\) alors \(\text{Ker}\ u\) est isomorphe à tout supplémentaire de \(\text{Im}\ u\).

 
 

6. Soit \(A\) une partie de \(E\) et \(u\in{\cal L}(E)\). Alors \(u(\text{Vect}\ A)\subset\text{Vect}\ u(A)\).

 
 

7. Soient \(H_1\), \(H_2\) et \(H_3\) trois sous-espaces vectoriels de \(E\). On a \(H_1+H_2\subset H_3\) si et seulement si \(H_1\subset H_3\) et \(H_2\subset H_3\).

 
 

8. Une famille de vecteurs deux-à-deux non colinéaires est libre.

 
 

9. L’ensemble des suites périodiques est un sous-espace vectoriel de \(\Bbb{R}^{\Bbb{N}}\).

 
 

10. Soit \((e_1,\ldots,e_n)\) une famille de vecteurs de \(E\). Pour qu’elle soit libre, il faut et il suffit que la famille \((e_1,\ldots,e_{n-1})\) soit libre et \(e_n\notin\text{Vect}(e_1,\ldots,e_{n-1})\).

 
 

11. Soient \(H_1\), \(H_2\) et \(H_3\) trois sous-espaces vectoriels de \(E\). On considère les propositions suivantes :

  1. \(H_1\cap H_2=\{0_E\}\), \(H_2\cap H_3=\{0_E\}\) et \(H_3\cap H_1=\{0_E\}\) ;
  2. \(H_1\cap H_2\cap H_3=\{0_E\}\).

Pour que la somme \(H_1+H_2+H_3\) soit directe il suffit de vérifier que :

 
 
 
 

12. Si \(p\) est une projection, \(-p\) aussi.

 
 

13. Si \(u\in{\cal L}(E)\) alors \(\text{Im}\ u\) et \(\text{Ker}\ u\) sont supplémentaires.

 
 

14. Si \(E_1\) et \(E_2\) sont deux sous-espaces supplémentaires de \(E\) et \(H\) un sous-espace vectoriel de \(E\) alors \(E_1\cap H\) et \(E_2\cap H\) sont deux sous-espaces supplémentaires dans \(H\).

 
 

15. L’intersection d’un nombre fini ou infini de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.

 
 

16. Soient \(H_1\) et \(H_2\) sont deux sous-espaces vectoriels de \(E\), tels que \(H_1+H_2=H_1\cap H_2\). Alors \(H_1=H_2\).

 
 

17. \({\cal GL}(E)\) est un sous-espace vectoriel de \({\cal L}(E)\).

 
 

18. Soit \((u,v)\in{\cal L}(E)^2\) tel que \(u\circ v=0\). Alors \(u=0\) ou \(v=0\).

 
 

19. Si \(\text{Im}(p)=\text{Ker}(\text{Id}-p)\) alors \(p\) est une projection vectorielle.

 
 

20. Soient \(H_1\) et \(H_2\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\), tels que \(H_1+H_2=H_1\). Alors \(H_1=H_2\).

 
 

21. L’ensemble des suites bornées est un sous-espace vectoriel de \(\Bbb{R}^{\Bbb{N}}\).

 
 

22. \(p\) est un projecteur si et seulement si \(\text{Id}-p\) est un projecteur.

 
 

23. Si \((u,v)\in{\cal L}(E)^2\), alors \(u\circ v=0\) si et seulement si \(\text{Im}\ v\subset\text{Ker}\ u\).

 
 

24. Soient \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\). Alors \(\text{Vect}(A\cup B)=\text{Vect}(A)+\text{Vect}(B)\).

 
 

25. Si \((u,v)\in{\cal L}(E,F)^2\), \(\text{Im}(u+v)=\text{Im}\ u+\text{Im}\ v\) et \(\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}\ u+\text{Ker}\ v\).

 
 

26. La réunion de deux sous-espaces vectoriels est toujours un sous-espace vectoriel.

 
 

27. Si \(u\in{\cal L}(E,F)\) alors \(\text{Im}\ u\) est isomorphe à tout supplémentaire de \(\text{Ker}\ u\).

 
 

28. Si \(p\) est un projecteur, \(p-2\text{Id}\) est une symétrie.

 
 

29. Soient \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\). Alors \(\text{Vect}(A\cap B)=\text{Vect}(A)\cap\text{Vect}(B)\).