Quiz espaces euclidiens

Quiz espaces euclidiens

1. Toute matrice symétrique est diagonalisable.

 
 

2. Les isométries du plan euclidien sont les rotations.

 
 

3. Une isométrie vectorielle d’un espace euclidien est nécessairement bijective.

 
 

4. La projection orthogonale \(p(x)\) de \(x\) sur un sous-espace vectoriel quelconque \(H\) est caractérisé par les deux conditions :

  • \(p(x)\in H\) ;
  • \(x-p(x)\in H^\perp\).
 
 

5. Un endomorphisme est orthogonal si et seulement s’il transforme toute famille orthogonale en une famille orthogonale.

 
 

6. Tout produit scalaire sur \({\Bbb R}[X]\) possède une base orthonormée échelonnée en degré.

 
 

7. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(A^TB)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\).

 
 

8. La composition de deux endomorphismes symétriques est un endomorphisme symétrique.

 
 

9. Dans un espace euclidien toute famille orthogonale est libre.

 
 

10. L’application \((X,Y)\mapsto XY^T\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,1}({\Bbb R})\).

 
 

11. Si \(H_1\) et \(H_2\) sont deux sous-espaces vectoriels d’un même espace euclidien, on a \(H_1\subset H_2\) si et seulement si \(H_1^\perp\subset H_2^\perp\).

 
 

12. Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs d’un espace euclidien. Alors \(x\) et \(y\) sont orthogonaux si et seulement si \(\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2\).

 
 

13. L’application \((A,B)\mapsto\text{Tr}(AB^T)\) est un produit scalaire sur \(\text{Mat}_{n,p}({\Bbb R})\).