Quiz calcul matriciel

1. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

2. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

3. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

4. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

5. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

6. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

7. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

8. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

9. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

10. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

11. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

12. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

13. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

14. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

15. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

16. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

17. Deux matrices semblables ont même déterminant.

18. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

19. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

20. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

21. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

22. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

23. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

24. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

25. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

26. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

27. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

28. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

29. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.