Quiz calcul matriciel

1. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

2. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

3. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

4. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

5. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

6. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

7. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

8. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

9. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

10. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

11. Deux matrices semblables ont même déterminant.

12. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

13. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

14. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

15. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

16. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

17. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

18. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

19. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

20. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

21. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

22. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

23. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

24. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

25. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

26. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

27. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

28. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

29. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.