Quiz calcul matriciel

1. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

2. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

3. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

4. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

5. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

6. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

7. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

8. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

9. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

10. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

11. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

12. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

13. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

14. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

15. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

16. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

17. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

18. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

19. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

20. Deux matrices semblables ont même déterminant.

21. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

22. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

23. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

24. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

25. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

26. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

27. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

28. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

29. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).