Quiz calcul matriciel

1. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

2. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

3. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

4. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

5. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

6. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

7. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

8. Deux matrices semblables ont même déterminant.

9. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

10. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

11. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

12. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

13. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

14. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

15. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

16. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

17. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

18. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

19. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).

20. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

21. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

22. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

23. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

24. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

25. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

26. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

27. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

28. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

29. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).