Quiz calcul matriciel

1. Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

2. Le rang d’une matrice triangulaire est supérieur ou égal au nombre de coefficients non nuls sur la diagonale.

3. Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit des éléments diagonaux.

4. Le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle est de dimension \(n-1\).

5. Une matrice \(A\) et sa transposée \(A^T\) ont même rang.

6. Le produit de deux matrices triangulaires est une matrice triangulaire.

7. Le déterminant de Vandermonde \(V(x_1,\ldots,x_n)\) vaut \(\displaystyle\prod_{i\ne j}(x_j-x_i)\).

8. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n+1)}2\).

9. \(E_{ij}E_{kl}=0\) si et seulement si \(j\ne k\).

10. Les matrices \(A=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}\) sont semblables.

11. La dimension de l’espace des matrices symétriques est \(\displaystyle\frac{n(n-1)}2\).

12. Deux matrices \(A\) et \(A’\) sont semblables s’il existe une matrice \(P\) telle que \(PA’=AP\).

13. \(\text{min}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))≤\text{rg}(AB)≤\text{max}(\text{rg}(A),\text{rg}(B))\).

14. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) on a \(\text{det}(AB)=\text{det}(BA)\).

15. Le déterminant d’une matrice diagonale est le produit des éléments diagonaux.

16. Pour \(A,B,C,D\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}=\text{det}(A)\text{det}(D)-\text{det}(B)\text{det}(C)\).

17. Les matrices diagonales commutent avec toutes les matrices de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

18. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) dernières lignes sont nulles.

19. Si \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) est une base et \(e’=(e_n,\ldots,e_1)\) alors \(\text{Mat}_{(e’)}(u)\) est la transposée de \(\text{Mat}_{(e)}(u)\).

20. Une matrice \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\) est inversible si et seulement si \(\text{rg}(A)=n\).

21. On considère les deux propriétés suivantes :

1. les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables ;
2. les matrices \(A\) et \(B\) ont même rang  et même trace.

22. Pour \(\lambda\in{\Bbb K}\) et \(A\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{det}(\lambda A)=\lambda\text{det}(A)\).

23. Deux matrices semblables ont même déterminant.

24. L’ensemble des matrices non inversibles est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_n({\Bbb K})\).

25. Une matrice triangulaire dont les termes diagonaux sont nuls est nilpotente.

26. Le déterminant est une application linéaire de \({\cal M}_n({\Bbb K})\) vers \(\Bbb K\).

27. Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombres de coefficients non nuls sur la diagonale.

28. Toute matrice de rang 1 est semblable à une matrice dont les \(n-1\) premières colonnes sont nulles.

29. Pour \(A,B\in{\cal M}_n({\Bbb K})\), \(\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)\) et \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(A)\text{tr}(B)\).