Quiz polynômes

Quiz polynômes

1. Tout polynôme réel de degré 3 possède au moins une racine.

 
 

2. Si pour tout \(t\in[0,1]\), \(P(t)Q(t)=0\)  alors \(P=0\) ou \(Q=0\).

 
 

3. Un polynôme de degré \(n\) qui possède \(n+1\) racines est le polynôme nul.

 
 

4. Si deux polynômes \(P\) et \(Q\) vérifient : \(\forall t\in[-1,1]\), \(P(t)=Q(t)\) alors \(P=Q\).

 
 

5. L’ensemble \({\Bbb K}_n[X]\) des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) est un \(\Bbb K\)-espace vectoriel de dimension \(n\).

 
 

6. \(a\) est une racine multiple de \(P\) si et seulement si \((X-a)^2\) divise \(P\).

 
 

7. Les polynômes irréductibles de \({\Bbb R}[X]\) sont les polynômes de degré 2 sans racine.

 
 

8. Si \(z\in{\Bbb C}\setminus{\Bbb R}\) est racine de \(P\in{\Bbb R}[X]\) alors son conjugué \(\overline z\) est aussi racine de \(P\).

 
 

9. Tout polynôme possède un nombre fini de racines.

 
 

10. \(a\) est racine double de \(P\) si et seulement si \(P(a)=P'(a)=0\).

 
 

11. Si \(P\) est un polynôme non nul, l’ensemble des multiples de \(P\) est un sous-espace vectoriel de dimension infinie de \({\Bbb K}[X]\).

 
 

12. Pour tout \((P,Q)\in{\Bbb K}[X]^2\), \(\text{deg}\,(P+Q)=\text{max}\,(\text{deg}\,(P),\text{deg}\,(Q))\).

 
 

13. Pour tout \((P,Q)\in{\Bbb K}[X]^2\), \(\text{deg}\,(PQ)=\text{deg}\,(P)+\text{deg}\,(Q)\).

 
 

14. Un polynôme scindé de degré \(n≥0\) possède \(n\) racines distinctes.

 
 

15. La famille \((P_k)_{0≤k≤n}\) est une base de \({\Bbb K}_n[X]\) si et seulement si pour tout \(k\in\{0,1,\ldots,n\}\), \(\text{deg}\,(P_k)=k\).

 
 

16. Un polynôme \(P\in{\Bbb C}[X]\) de degré \(n\) possède exactement \(n\) racines distinctes.

 
 

17. Si \(S\) est un polynôme non nul de degré \(n≥1\), l’application qui à \(P\in{\Bbb K}[X]\) associe le reste par la division euclidienne de \(P\) par \(S\) est une projection vectorielle sur \({\Bbb K}_{n-1}[X]\).

 
 

18. Tout polynôme non constant de \({\Bbb C}[X]\) est scindé.

 
 

19. \(a\) est racine de \(P\) si et seulement si le polynôme \(X-a\) divise \(P\).

 
 

20. Un polynôme \(P\in{\Bbb R}[X]\) de degré 4 et sans racine est irréductible.